二分图：当且仅当图中不含奇数环
有奇数环发生矛盾
染色法
判断一个图是不是二分图
题目描述
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环。
请你判断这个图是否是二分图。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含两个整数u和v，表示点u和点v之间存在一条边。
输出格式
如果给定图是二分图，则输出“Yes”，否则输出“No”。
数据范围
1≤ n,m≤ 105
输入样例：
4 4
1 3
1 4
2 3
2 4
输出样例：
Yes
题解
用DFS进行染色，判断是否存在矛盾
时间复杂度O（n+m）
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200510;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int color[N];
void add(int a,int b){
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
bool dfs(int u,int c){
color[u]=c;
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(!color[j]){
if(!dfs(j,3-c)) return false;
}
else if(color[j]==c) return false;
}
return true;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b;
cin>>a>>b;
add(a,b),add(b,a);
}
bool A=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!color[i]){
if(!dfs(i,1)){
A=1;
break;
}
}
}
if(A) cout<<"No"<<endl;
else cout<<"Yes"<<endl;
return 0;
}
匈牙利算法
求最多匹配关系
题目描述
给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1~n1），右半部包含 n2 个点（编号 1~n2），二分图共包含 m 条边。数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。请你求出二分图的最大匹配数。二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。
输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。
输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。
数据范围
1 ≤ n1，n2 ≤ 500，
1 ≤ u ≤ n1，
1 ≤ v ≤ n2，
1 ≤ m ≤ 10 ^ 5
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2
来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/863/
题解
时间复杂度O（nm）但小于O(nm)
每次选择一个可以匹配的对象A，如果A已经被匹配，找到它匹配的那个数B，让B匹配其他数C，如果B不能找到其他数C匹配，则就视为不能匹配。（鸠占鹊巢，或者绿了绿了哈哈）
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200510;
int n1,n2,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int match[N];
bool v[N];
void add(int a,int b){
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
bool find(int x){
for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(!v[j]){
v[j]=true;
if(match[j]==0||find(match[j])){
match[j]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main(){
cin>>n1>>n2>>m;
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b;
cin>>a>>b;
add(a,b);
}
int res=0;
for(int i=1;i<=n1;i++){
memset(v,false,sizeof v);
if(find(i)) res++;
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}