二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的
子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中，另一个在Y
中，则称图G为二分图
二分图的性质
定理：当且仅当无向图G的每一个环(即回路、圈，英文为circle)的结数均是偶数时， G才是一个二分图。如果无环，相当于每个环的结点数为0，故也视为二
分图
二分图的判定
如果一个图是连通的，可以用如下的方法判定是否是二分图：
在图中任选一顶点v，定义其距离标号为0，然后把它的邻接点的
距离标号均设为1，接着把所有标号为1的邻接点均标号为2（如果
该点未标号的话），如图所示，以此类推。
标号过程可以用一次BFS实现。标号后，所有标号为奇数的点归为
X部，标号为偶数的点归为Y部。
接下来，二分图的判定就是依次检查每条边，看两个端点是否是
一个在X部，一个在Y部。
如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集{E}中的任意两条
边都不交汇于同一个结点，则称M是一个匹配。
图中加粗的边是数量为2的匹配。
最大匹配
选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完
全匹配，也称作完备匹配。
图中所示为一个最大匹配，但不是完全匹配。
增广路径
增广路径的定义：设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条连通
两个未匹配顶点的路径（P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且
属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为
相对于M的一条增广路径。
增广路径是一条“交错轨”。也就是说, 它的第一条边是目前还没有参与匹
配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且起
点和终点还没有被选择过，这样交错进行,显然P有奇数条边
寻找增广路
红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4开始，
x4, y3, x2, y1, x1, y2
因为y2是Y部中未匹配的顶点，故所找路径是增广路径。
其中有属于匹配M的边为{x2,y3},{x1,y1}
不属于匹配的边为{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}
可以看出：不属于匹配的边要多一条
寻找增广路
如果从M中抽走{x2,y3},{x1,y1}，并加入
色",则可以得到四条边的匹配M’={{x3,y4}, {x4,y3},{x2, y1},
{x1,y2}}
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一
对。另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可
以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就
是匈牙利算法的思路.
可知四条边的匹配是最大匹配
增广路径性质
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
(1)P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个
端点分属两个集合，且未匹配。
(2)P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
(3)M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
找增广路径的算法
我们采用DFS的办法找一条增广路径：
从X部一个未匹配的顶点u开始，找一个未访问的邻接点v（v一定是Y部顶点）。对于v，分两
种情况：
(1)如果v未匹配，则已经找到一条增广路
(2)如果v已经匹配，则取出v的匹配顶点w(w一定是X部顶点)，边(w,v)目前是匹配的，根据“取
反”的想法，要将(w,v)改为未匹配， (u,v)设为匹配，能实现这一点的条件是看从w为起点能
否新找到一条增广路径P’。如果行，则u-v-P’就是一条以u为起点的增广路径。
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)
算法轮廓：
(1)置M为空
(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
算法分析
算法的核心是找增广路径的过程DFS
对于每个可以与u匹配的顶点v，假如它未被匹配，可以直接用v与u匹配；
如果v已与顶点w匹配，那么只需调用DFS(w)来求证w是否可以与其它顶点匹配，如果
DFS(w)返回true的话，仍可以使v与u匹配；如果DFS(w)返回false,则检查u的下一个邻
接点.......
在DFS时，要标记访问过的顶点（vis[ j]=true），以防死循环和重复计算；每次在主过
程中开始一次DFS前，所有的顶点都是未标记的。
主过程只需对每个X部的顶点调用DFS，如果返回一次true，就对最大匹配数加一；一
个简单的循环就求出了最大匹配的数目。
代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 512
vector <int>adj[MAXN];
int n, m;
void AddEdge(int u, int v)
{
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
void Init()//读入数据，建图
{
cin >> n >> m;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int si, k;
cin >> si;
for(int j=1; j<=si; j++)
{
cin >> k;
k += n;
addedge(i, k);
}
}
}
bool vis[MAXN+1];
int match[MAXN+1];
Bool DFS(int u) {//深搜找增广路
for(int i=0; i<adj[u].size(); i++) {
int v = adj[u][i];
if(vis[v]) continue;
vis[v] = true;
if ( !match[v] || dfs(match[v]) ) {
match[v] = u;
match[u] = v;
return true;
}
}
return false;
}
void Solve() {//匈牙利算法主函数
for(int i = 1; i<=n; i++) {
memset(vis, false, sizeof(vis));
if(!match[i]) {
if(DFS(i)) ans++;
}
}
}
int main()
{
init();
Solve();
cout << ans <<endl;
return 0;
}时空分析
时间复杂度：
找一次增广路径的时间为：邻接矩阵： O(n^2)
邻接表： O(n+m)
总时间：
邻接矩阵： O(n^3)
邻接表： O(nm)
空间复杂度：
邻接矩阵： O(n^2)
邻接表： O(m+n)
二分图常用技巧
1，最大匹配：匈牙利算法
2，König定理：最小覆盖点数=最大匹配数
3，最大独立集点数 = 总点数 - 最大匹配数
4，最小边覆盖 =总点数 - 最大匹配数