任务详解：

主要介绍了随机试验，样本空间，随机事件，概率的定，条件概率与乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式，独立性等知识点。
掌握目标：
1、了解概率基本概念，掌握条件概率和乘法公式
2、掌握全概率公式和贝叶斯公式
3、掌握事件的独立性

1.随机试验，样本空间，随机事件

随机试验

1.扔硬币
$E_1$ ：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
$E_2$ ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。
$E_3$ ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数.
$E_4$ ：抛一颗骰子，观察出现的点数.
2.投筛子

样本空间

随机试验E的所有可能结果构成的集合称为E的样本空间
对应上面四个随机试验的样本空间。
$S_1$ :{H,T};
$S_2$ :{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT);
$S_3$ :{0,1,2,3};
$S_4$ :{1,2,3,4,5,6};

随机事件

试验E的样本空间S的任意一个子集称为E的随机事件，简称事件
必然事件和不可能事件
互斥事件和对立事件（A发生，B一定不发生，A不发生，B一定发生。 $P(A)+P(B)=1$ ）

2.概率的定义

定义设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋子一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数 $P( \cdot )$ 满足下列条件：
1°非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0；
2°规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；
3°可列可加性：设 $A_1,A_2,…$ 是两两互不相容的事件，即对于 $A_iA_j=\phi,i\neq j,i,j=1,2,…$ ，有
$P(A_1UA_2 U·…)=P(A_1)+P(A_2)+……$
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例1将一枚硬币抛掷三次。
（1）设事件 $A_1$ 为“恰有一次出现正面”，求 $P(A_1)$ ；
（2）设事件 $A_2$ 为“至少有一次出现正面”，求 $P(A_2)$ .
解（1）我们考虑之前例子中E2的样本空间：
$S_2=\{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ ;
而 $A_1=\{HTT,THT,TTH\}$ .
$S_2$ 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。故
$P(A_1)=\frac{3}{8}$
（2）由于 $\bar{A_2}=\{TTT\}$ ，于是
$P(A_2)=1-P(\bar{A_2})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
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3.条件概率与乘法公式

引例：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况.设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.
解： $S=\{HH,HT,TH,TT\},A=\{HH,HT,TH\},B=\{HH,TT\}$
所以 $P(B|A)=\cfrac{1}{3}$
$P(AB)=\cfrac{1}{4},P(A)=\cfrac{3}{4}$
$\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{1}{3}$
定义设A，B是两个事件，且 $P(A)>0$ ，称
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
乘法公式：
$P(AB)=P(B|A)P(A)$
$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$
$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2\cdots A_{n-2})\cdots P(A_2|A_1)P(A_1)$
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例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三次而未打破的概率。
解：以 $A_i(i=1,2,3)$ 表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.因为 $B=\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}$ ，故有
$P(B)=P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3})=P(\bar{A_3}|\bar{A_1}\bar{A_2})P(\bar{A_2}|\bar{A_1})P(\bar{A_1})=(1-\frac{9}{10})(1-\frac{7}{10})(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{200}$
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4.全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件， $B_1,B_2,…,B_n$ 为S的一个划分( $S=B_1\cup B2\cup...\cup B_n$ )，且 $P(B_i)>0(i=1,2,…,n)$ ，则
$P(A)=P(A\cap S)=P(A \cap (B_1\cup B2\cup...\cup B_n))$
$=P[(A \cap B_1)\cup(A \cap B_2)\cup...\cup(A \cap B_n)$
$=P(A B_1)+P(A B_2)+...+P(A B_n)$
$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)$
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例6据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸者患肺癌的概率是多少？
解；以C记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，按题意
P©=0.001，P(A)=0.20，P(C|A)=0.004
.需要求条件概率 $P(C|\bar{A})$ ，由全概率公式有
$P(C)=P(CIA)P(A)+P(C|\bar{A})P(\bar{A})$
$0.001=0.004×0.20+P(C|\bar{A})P(\bar{A})$
$=0.004×0.20+P(C|\bar{A})×0.80\to P(C|\bar{A})=0.00025$
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贝叶斯公式

定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件， $B_1,B_2,…,B_n$ 为S的一个划分，且 $P(A)>0，P(B_i)>0(i=1,2,…,n)$ ，则
$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^nP(A|B_j)P(B_j)},i=1,2,…,n.$
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例7对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？
解：设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”。
已知 $P(A|B)=0.98$ ， $P(A|\bar{B})=0.55$ ， $P(B)=0.95$ ， $P(\bar{B})=0.05$ ，所需求的概率为 $P(B|A)$ .由贝叶斯公式
$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}$
$=\frac{0.98×0.95}{0.98×0.95+0.55×0.05}=0.97$
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这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97。这里，概率0.95是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率。而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。

5.独立性

$P(AB)=P(A)P(B)$ 则称A与B独立。
抛两次硬币，事件A为第一次出现正面事件B为第二次出现正面。
两次硬币={HH,HT,TH,TT}
A={HH,HT}
B={TH,TT}
$P(A)=\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{2},P(B)=\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{2}$

$P(B|A)=\cfrac{1}{2},P(AB)=\cfrac{1}{4}$
或者说： $P(B)=P(B|A)\space or \space P(A)=P(A|B)$
说人话：B的发生与A发不发生没有关系，也就是求在A发生的条件下B发生的概率和单独求B发生概率一样，A的发生作为条件的时候不影响B的发生概率。

定理一设A，B是两事件，且 $P(A)>0$ .若A，B相互独立，则 $P(B|A)=P(B).$ 反之亦然.
定理二若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
$A与\bar{B}，\bar{A}与B，\bar{A}与\bar{B}$
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证明一下定理二中的第一个： $A与\bar{B}$
根据全概率公式，先写出来：
$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})$
根据乘法公式：
$P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})$
由于A，B独立：
$P(A)=P(A)P(B)+P(A\bar{B})$
移项：
$P(A)-P(A)P(B)=P(A\bar{B})$
$P(A)(1-P(B))=P(A\bar{B})$
$P(A)P(\bar{B})=P(A\bar{B})$
故 $A与\bar{B}$ 独立
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oldmao_2001

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