数值分析（一） 牛顿插值法及matlab代码

数学： 数值分析

  刚上完数值分析课在其中学习了不少的知识，课后还做了一些课程实验主要都是利用matlab编程来解决问题，接下先讲插值法中的牛顿插值法

一、牛顿插值法原理

1.牛顿插值多项式

  定义牛顿插值多项式为：
$N_n\left(x\right)=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_{n-1}\right)$  其中 $a_k\left(k=0,1,2,\cdots,n\right)$为待定系数

  可见，牛顿插值多项式 $N\left(x\right)$是插值多项式 $P\left(x\right)$的另一种表示形式, 与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.

2.差商

2.1 定义

  自变量之差与因变量之差之比叫差商
  定义: 函数 $y=f\left(x\right)$在区间 $\left[x_i,x_{i+1}\right]$上的平均变化率 $f\left[x_i,x_{i+1}\right]=\frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_i\right)}{x_{i+1}-x_i}$  称为 $f\left(x\right)$关于 $x_i,x_{i+1}$的一阶差商，并记为 $f\left[x_i,x_{i+1}\right]$
  二阶差商: $f\left[x_i,x_{i+1},x_{i+2}\right]=\frac{f\left[x_{i+1},x_{i+2}\right]-f\left[x_i,x_{i+1}\right]}{x_{i+2}-x_i}$  m阶差商: $f\left[x_0,x_1,\cdots,x_m\right]=\frac{f\left[x_1,x_2,\cdots,x_m\right]-f\left[x_0,x_1,\cdots,x_{m-1}\right]}{x_m-x_0}$

2.2 性质

  性质1：函数 $f\left(x\right)$的 n 阶差商 $f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n\right]$可由函数值 $f\left(x_0\right),f\left(x_1\right),\cdots,f\left(x_n\right)$ 的线性组合表示, 且 $f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n\right]=\sum_{k=0}^n\frac{f\left(x_k\right)}{\omega'\left(x_k\right)}\\=\sum_{k=0}^n\frac{f\left(x_k\right)}{\left(x_k-x_0\right)\left(x_k-x_1\right)\cdots\left(x_k-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right)\cdots\left(x_k-x_n\right)}$其中 $\omega'\left(x_k\right)=\prod_{i=0,i\neq k}^n\left(x_k-x_i\right)$
  性质2：差商具有对称性,即在k阶差商中 $f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n\right]$任意交换两个节点 $x_i$和 $x_j$的次序,其值不变。
  例如： $f\left[x_0,x_1,x_2\right]=f\left[x_1,x_2,x_0\right]=f\left[x_0,x_2,x_1\right]=\cdots$  性质3：k阶差商 $f\left[x_0,x_1,\cdots,x_k\right]$和k阶导数之间有下列关系 $f\left[x_0,x_1,\cdots,x_k\right]=\frac{f^{\left(k\right)}\left(\xi\right)}{k!}\;\;\;\;\;\;\;\xi\in\left(\underset{0\leq i\leq n}{min}x_i,\underset{0\leq i\leq n}{max}x_i\right)$

2.3 差商表

$x_i$	$f\left[x_i\right]$	$f\left[x_i,x_{i+1}\right]$	$f\left[x_i,x_{i+1},x_{i+2}\right]$	$f\left[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}\right]$	$\cdots$
$x_0$	$f\left(x_0\right)$
$x_1$	$f\left(x_1\right)$	$f\left[x_0,x_1\right]$
$x_2$	$f\left(x_2\right)$	$f\left[x_1,x_2\right]$	$f\left[x_0,x_1,x_2\right]$
$x_3$	$f\left(x_3\right)$	$f\left[x_2,x_3\right]$	$f\left[x_1,x_2,x_3\right]$	$f\left[x_0,x_1,x_2,x_3\right]$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

3.牛顿（Newton）插值公式

  由之前牛顿插值多项式和差商可推出牛顿插值公式其中系数 $a_0=f\left(x_0\right)$ $a_1=f\left[x_0,x_1\right]$ $a_2=f\left[x_0,x_1,x_2\right]$  其中一般式： $a_k=f\left[x_0,x_1,\cdots,x_k\right]\;\;\;\;\;\left(k=0,1,\cdots,n\right)$  将求得系数代入多项式中即可得到n次牛顿插值公式 $N_n\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f\left[x_0,x_1\right]\left(x-x_0\right)+\cdots+f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right)$  其余项为 $R_n\left(x\right)=f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n,x\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right)\\=f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n,x\right]\prod_{i=0}^n\left(x-x_i\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\prod_{i=0}^n\left(x-x_i\right)\\f\left[x_0,x_1,\cdots,x_n\right]=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}$
  

二、牛顿插值公式matlab代码

  友情提示：本人使用的是matlab2019b版本，并且个人很喜欢使用matlab中的实时在线脚本，很少使用脚本来编写程序。实时在线脚本脚本编译环境我个人非常喜欢，所以接下来的代码都是在实时在线脚本中实现，简要的讲一下实时在线脚本
  

1. matlab实时在线脚本

  简要介绍一下实时在线脚本，首先打开matlab，可以看到一下界面，点击实时在线脚本

  基本打开后就可以看到这样一个界面如下图所示，还有很多功能等待读者自己去体会简要概述讲到这里

  给大家看一下编写代码后的部分样子，函数，代码，结果分块显示非常清晰，与脚本的区别还是很大的，大家特别注意一下脚本生成的文件为.m文件,实时在线脚本脚本为.mlx文件

  

2. 牛顿插值代码

  下面展示牛顿插值函数代码

function [A,y]= newtonzi(X,Y,x)
%   Newton插值函数
%   X为已知数据点的x坐标
%   Y为已知数据点的y坐标
%   x为插值点的x坐标
%   函数返回A差商表
%   y为各插值点函数值
n=length(X); m=length(x);
for t=1:m
    z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';
    s=0.0; y=0.0; c1=1.0;
    for  j=2:n
       for i=j:n
           A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
       end
    end
    C=A(n,n);
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:k-1
            p=p*(z-X(j));
        end
        s=s+A(k,k)*p;        
    end
    ss(t)=s;
end
    y=ss;
    A=[X',A];    
end

  

3.实例

  选取的实例是以教材《数值分析》（第五版 李庆扬）第二章 插值法计算实习题题目如下：

  这里先解决牛顿插值多项式，利用之前编写的牛顿插值函数
  下面展示代码

x=0.2:0.2:1;
y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];
x0=[0.2 0.28 1.0 1.08];
[d,y]=newtonzi(x,y,x0) %调用牛顿插值函数

  运行后的结果如下 d为差商表，y为插值点 $x_0$对应的纵坐标

  在实时在线脚本中代码结果全样貌如下图所示

  根据计算结果得到牛顿4次插值公式为：
$P_4\left(x\right)=0.98-0.3\left(x-0.2\right)-0.625\left(x-0.2\right)\left(x-0.4\right)-0.2083\left(x-0.2\right)\left(x-0.4\right)\left(x-0.6\right)\\-0.5208\left(x-0.2\right)\left(x-0.4\right)\left(x-0.6\right)\left(x-0.8\right)$

  

三、总结

  此次内容主要讲的是牛顿插值的原理，及根据原理利用matlab编写一个通用计算公式函数，然后举例来验证代码的正确性。此次例题中提到了一个三次样条插值函数，将会放在下篇更新。本人第一次写csdn，也是第一次发表，有些地方存在问题希望读者多多指正，也感谢大家多多关注本人。
  顺便问下有没有cug的校友，多支持一下。谢谢读者耐心的观看本篇文章。