【题解】AcWing 91.最短Hamilton路径

AcWing 91.最短Hamilton路径

题目描述

给定一张 $n$ 个点的带权无向图，点从 $0\sim n-1$ 标号，求起点 $0$ 到终点 $n-1$ 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 $0$ 到 $n-1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 $n$。

接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示点 $i$ 到 $j$ 的距离（记为 $a[i,j]$）。

对于任意的 $x,y,z$，数据保证 $a[x,x]=0$，$a[x,y]=a[y,x]$ 并且 $a[x,y]+a[y,z]\ge a[x,z]$。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

$1\le n\le 20$，
$0\le a[i,j]\le 10^7$

输入样例

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例

18

题目分析

最基础的状态压缩DP问题。

先考虑最朴素的做法：枚举 $0\sim n-1$ 的全排列，计算路径长度取最小值，时间复杂度 $O(n\ast n!)$。
而使用二进制状态压缩DP可以将其优化到 $O(n^2\ast 2^n)$。

状态表示：我们用一个二进制数表示经过所有点的状态，若其第 $i$ 位为 $1$，表示第 $i$ 个点已经被经过。设 $f[i,j]$ 表示被经过的点的状态为 $i$，且当前处于点 $p$ 的所有走法种的路径最小值。

状态计算： f [ i , j ] = m i n { f [ i   x o r   ( 1 < < j ) , k ] + w [ k , j ] } f[i,j]=min\{f[i\ xor\ (1<<j),k]+w[k,j]\} f[i,j]=min{ f[i xor (1<<j),k]+w[k,j]}，其中 $0\le k<n$ 且 $(i>>j)\&1=1$。我们先枚举二进制数 $i$，再枚举当前所处的点，接着枚举所有可以到达 $i$ 状态的状态，用它们的值更新现在的值。

状态初始化：$f[1,0]=0$。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 20;
int n, m[N][N];
long long f[1 << N][N];

int main(){
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            cin >> m[i][j];
    
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[1][0] = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            if (i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; k ++)
                    if ((i ^ 1 << j) >> k & 1)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ 1 << j][k] + m[k][j]);
    
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1];
    return 0;
}