[位运算]最短Hamilton路径

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最短Hamilton路径

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

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这是一道简单的状压dp。
转换公式是
$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - (i << k)][k]+w[k][j]) while((i-(1<<k)\&1) \&\&(i-(1<<j)\&1))k!=j$
举个例子，例如当i等于11的时候，i的二进制表示为1011，i表示编号为0，1，3的人都已经走过了，我们就枚举当前位置，比如当前在1号位置，那么前一个状态就是1001，我们可以从0号位，或者3号位走到1号位，也就是在前一个状态中找到最小的出发点到1号位。

如何删除集合i中的第j个点？ $i-(1<<j)$ 即可

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#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, w[21][21];
int dp[1<<20][21];
int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> w[i][j];
            w[j][i] = w[i][j];
        }
    }
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
        for (int j = 0; j < n ; j++) {
            dp[i][j] = 100000000;
        }
    }
    dp[1][0] = 0; //从那里开始就把哪个状态的dp设为0
    for (int i = 1; i < (1 << n); i++) {
        for (int j = 0; j < n ; j++) {
            if ((i >> j) & 1) {
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    if (k != j && ((i >> k) & 1)) { //(i - (1 << k)) >> k & 1
                        dp[i][j] = min(dp[i - (1 << j)][k] + w[k][j], dp[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[(1 << n) - 1][n - 1]; //要求输出以0为起点，n-1为终点的dp值
}