最短Hamilton路径(upc 状压DP)

题目描述

给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（一个不超过10^7的正整数，记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出

一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

样例输入

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

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样例输出

4

提示

从0到3的Hamilton路径有两条，0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5，后者的长度为1+2+1=4

       题目意思就像题目里面说的，需要找一条汉密尔顿路径，求汉密尔顿路径可以用搜索剪枝的方法求，每到一个点，就改变其他点的搜索状态，但是这个题可以不用搜索，可以采用DP的方法，我们看到最多有20个点，所以我们可以用0~((1<<n)-1)之间的数表示当前的状态有哪些点，每一位二进制位表示一个点的状态，然后再通过类似松弛的操作更新最短路径，最后的结果就是dp[(1<<n)-1][n-1], dp[i][j]表示的是在i状态下最后到达j点时的值。

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M = 1e9 + 7;
const int maxn = (1<<20) + 10;
int ma[25][25];
int dp[maxn][25];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        memset(ma, 0, sizeof(ma));
        for(int i = 0; i < n; ++ i)
        {
            for(int j = 0; j < n; ++ j)
            {
                scanf("%d", &ma[i][j]);
            }
        }
        int sum = (1<<n)-1;
        for(int i = 2; i < sum; ++ i)
        {
            for(int j = 0; j < n; ++ j)
            {
                int res = 1<<j;
                if(i & res)
                {
                    if(i == res)
                    {
                        dp[i][j] = ma[0][j];
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j] = M;
                        for(int k = 0; k < n; ++ k)
                        {
                            if(i&(1<<k) && j!=k)
                            {
                                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-res][k]+ma[k][j]);
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        dp[sum][n-1] = M;
        for(int i =0; i < n-1; ++ i)
        {
            int res = 1<<(n-1);
            dp[sum][n-1] = min(dp[sum][n-1], dp[sum-res][i]+ma[i][n-1]);
        }
        int ans = dp[sum][n-1];
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}