AcWing 91. 最短Hamilton路径（二进制状态压缩、DP）

题目链接：点击这里

题意：求起点 $0$ 到终点 $n-1$ 的最短哈密顿路径。从题目样例来看，默认都是无向完全图（但是题目本身并未提及，坑）。也就是说，任意一点都可以直达其它顶点，完全不用担心从一个顶点到另一个顶点没有边，这对题意的理解很重要。

朴素做法，就是枚举n个点的全排列，计算路径长度取最小值，时间复杂度为 $O(n*n!)$。

使用二进制状态压缩DP可以优化到 $O(n^2*2^n)$

0 -> 1 -> 2 -> 3 -> … … -> n-1

0 -> 2 -> 1- > 3 -> … … -> n-1

假设现在已经知道0 -> 1 -> 2 -> 3是15，0 -> 2 -> 1- > 3是20，前者比后者更优，那么，3 -> … -> n-1 后面所有的路径状态都可以由前者替代。

从起点到当中任意一点都有一个最短路径，由上述分析可知，对于这些状态我们仅仅关注两个方面：

1. 哪个点被用过
2. 当前停在哪个点

因此，我们可以用 $f[i][j]$ 表示从起点 $0$ 经过路径 $i$ 走到顶点 $j$ 的最短Hamilton路径长度。
其中路径 $i$ 由一串二进制数表示， $i$ 的二进制数下哪一位为 $1$ 则表示哪个点已经走过了。

状态转移方程： $f[state][j] = f[state\_k][k] + weight[k][j]$。
其中 $state\_k$ 就是 $state$ 去掉 $j$ 之后的集合，并且 $state\_k$ 要包含 $k$。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 20, M = 1<<20;
int n;
int f[M][N], weight[N][N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i = 0; i < n; ++i)
		for(int j = 0; j < n; ++j)
			cin>>weight[i][j];
			
	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	
	f[1][0] = 0;			//起点0的状态
	for(int i = 0; i < 1<<n; ++i)
	{
		for(int j = 0; j < n; ++j)
		{
			if(i >> j & 1)		//i的第j位是否为1
			{
				for(int k = 0; k < n; ++k)
				{
					if(i - (1 << j) >> k & 1)  //state_k就是state去掉j之后的集合，并且state_k要包含k 
					{
						f[i][j] = min(f[i][j], f[i-(1<<j)][k] + weight[k][j]);
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
	return 0;
}

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_30277239/article/details/103992712

小优化：

1. 既然 $f$ 数组定义是从顶点 $0$ 出发，那么状态二进制表示的最后一位必然是 $1$，也就是说只需要枚举 $i$ 是奇数的情况，这样可以使得程序的执行速度快了一倍。
2. 另外，由于路径 $i$ 只是表示哪些顶点走过，并不能表示遍历的顺序，因此，我们在遍历每个状态时，还需要枚举当前遍历到的顶点。只有路径中仅包含两个顶点时才需要从 $0$ 枚举 $k$，否则不需要。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20, M = 1 << 20;
int n;
int f[M][N], weight[N][N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i = 0; i < n; ++i)
		for(int j = 0; j < n; ++j)
			cin>>weight[i][j];
	
	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	f[1][0] = 0;				//起点0的状态
	
	for(int i = 0; i < 1<<n; ++i)
	{
	    if(i&1)
	    {
	    	for(int j = 0;j < n;j++)
			{
				if(i >> j & 1)					//枚举当前点
				{
				    int t = i - (1 << j);		//去掉当前点
				    int s = (t - 1 != 0);		//如果只剩下了起点，才需要枚举以k = 0的情况
					for(int k = s; k < n; ++k)
					{
						if(t >> k & 1)			//以k为倒数第二个点
						{
							f[i][j] = min(f[i][j], f[t][k] + weight[k][j]);
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	
	cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
	return 0;
}