AcWing 91——最短Hamilton路径【状压DP】

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题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

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输入格式

第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

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输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

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数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

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输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

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输出样例：

18

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题解

• NP完全问题，但是时间复杂度爆炸
• 定义dp[ state ][ j ]：在 state 状态下，选取过 j 点的状态的最小值
• 状态转移方程为：dp[ i ][ j ] = min(dp[ i ][ j ]，dp[ i^(1<<j) ][ k ] + a[ k ][ j ]
• 详情见注释

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

const int maxn = 1e5 + 7;

int a[21][21];
int dp[1 << 20][30];
int main() {
	ios;
	int n;
	while (cin >> n) {
		memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));	// 初始化最大值
		dp[1][0] = 0;	// 起点不需要费用
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				cin >> a[i][j];
			}
		}
		for (int i = 1; i < (1 << n); i++)	// i 代表方案集合
			for (int j = 0; j < n; j++)	// 枚举各个点
				if ((i >> j) & 1)	// 到达过点 j
					for (int k = 0; k < n; k++)	// 选取到达 j 的前一个点 k
						if (i ^ (1 << j) >> k & 1)	// 每个点只能到达一次，所以想从 k -> j，到达 k 时不可经过 j
							dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i ^ (1 << j)][k] + a[k][j]);	// 从 k -> j 是否更好
		
		cout << dp[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
	}
}