【ACWing】91. 最短Hamilton路径

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/93/

给定一个$n$阶带权无向图，顶点从$0\sim n-1$标号，求从起点$0$到终点$n-1$的Hamilton路径的最短长度。两个顶点之间路径的长度$A[i][j]$由一个对称方阵给出。

输入格式：
第一行输入整数$n$。接下来$n$行每行$n$个整数，其中第$i$行第$j$个整数表示点$i$到$j$的距离（记为$A[i][j]$）。对于任意的$x,y,z$，数据保证$A[x][x]=0$，$A[x][y]=A[y][x]$并且 $A[x][y]+A[y][z]>=A[x][z]$。

输出格式：
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围：
$1\le n\le 20$
$0\le a[i,j]\le 10^7$

思路是动态规划。可以用状态压缩。设$f[i][j]$是当前访问顶点状态是$i$并且当前恰好位于点$j$的情况下，所走的最短距离。这里$i$的各个二进制位表示每个标号的顶点是否访问过。按照走到$j$之前上一个访问的顶点编号是多少分类，则有：$$f[i][j]=\underset{i>>k\&1=1,k\ne j}{\min }(f[i-(1<<j)][k]+A[k][j])$$这里的$k$的条件是，首先$k\ne j$，即要从一个不同于$j$的地方走过来，其次，$i$里走过的顶点要包含$k$。初始条件$f[1][0]=0$，意味着从起点出发的时候总距离是$0$。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 21, M = 1 << N;

int n;
int w[N][N], f[M][N];

int main() {
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;

    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) 
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    if (k != j && i >> k & 1)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);

    printf("%d\n", f[(1 << n) - 1][n - 1]);

    return 0;
}

时间复杂度$O(n^2{2}^n)$，空间$O(n{2}^n)$。