题目
题目描述
你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。
题目要求
给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。
示例
解题思路
法一：暴力遍历 O(N)
class Solution {
public:
int arrangeCoins(int n) {
int i;
long sum = 0;
if (n == 1)
return 1;
for (i = 1; i < n; i++)
{
sum += i;
if (sum > n)
break;
}
return i - 1;
}
};
法二：利用数学公式二分 O(logN)
- 注意利用公式的坑点：溢出！！！
由于是等差数列，可用等差数列求和公式，
(首项+末项)*项数/2，为了便于对溢出的控制，建议把分数的分子拆到与比较项相乘。
class Solution {
public:
int arrangeCoins(int n) {
int l = 1, r = sqrt(n) * 2;
while (l < r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if ((long long)mid * (mid + 1) < (long long)n * 2) {
l = mid + 1;
} else {
r = mid;
}
}
if ((long long)l * (l + 1) / 2 == n)
return l;
return l - 1;
}
};
法三：数学求根公式法 O(1)
- 根据 ( x + 1 ) ∗ x / 2 = n (x+1)*x/2=n (x+1)∗x/2=n 得出下面的一元二次方程：
x 2 + x − 2 n = 0 x^2+x-2n = 0 x2+x−2n=0
由于 n > = 1 n>=1 n>=1 ，所以判别式：
Δ = b 2 − 4 a c = 8 n + 1 > 0 Δ =b^2-4ac=8n+1>0 Δ=b2−4ac=8n+1>0
故存在两根：
x 1 = ( − 1 − s q r t ( Δ ) ) / 2 x_1=(-1-sqrt(Δ))/2 x1=(−1−sqrt(Δ))/2
x 2 = ( − 1 + s q r t ( Δ ) ) / 2 x_2 = (-1+sqrt(Δ))/2 x2=(−1+sqrt(Δ))/2
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由此可知 x 1 x_1 x1 必定小于0，故舍去。
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而 x 2 x_2 x2 的解可能不是整数，当它为小数的时候，我们把小数点舍去。也就是向下取整即可。
于是得到以下代码：
class Solution {
public:
int arrangeCoins(int n) {
return (int) ((sqrt((long long) 8 * n + 1) - 1) / 2);
}
};