LeetCode16_动态规划_不同的二叉搜索树

题目描述

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给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5

解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1
\ / / / \
3 2 1 1 3 2
/ / \
2 1 2 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
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二、题解

• base case:树的左、右孩子可以为 1 或者 为 0，因此dp[0] = 1,dp[1] = 1。

• 重叠子问题：我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，将 1⋯(i−1)序列作为左子树，将 (i+1)⋯n序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。
  在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。
  由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用

• 状态转移方程：f(i,n)表示以 i 为 根，序列长度为n 的 全部二叉搜索树，显然要求的 dp(n) ---->遍历1-n作为树根的 f(i,n)求和
  而且 某个i为根的树，f(i,n) = dp（i-1）* dp (n-i) ，也就是对应的左、右子树 二叉搜索树的笛卡尔积

class Solution {
    
    
    public int numTrees(int n) {
    
    
        
        int[] dp = new int[n+1];

        // base case
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        // 动态规划之迭代解法
        
        // 重叠子问题
        for(int i = 2;i<=n;i++){
    
    
            
            // 迭代循环作为根，左、右 为两个子问题
            for(int j = 1;j<=i;j++){
    
    
                // dp[] 为子问题解答
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];

    }
}