动态规划
案例 —— 背包问题
有一个背包，容量为4磅，现有如下物品
| 物品 | 重量 | 价格 |
|---|---|---|
| 吉他G | 1 | 1500 |
| 音响S | 4 | 3000 |
| 电脑L | 3 | 2000 |
要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复
动态规划介绍
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动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
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动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
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与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，.进行进一步的求解)
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动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.
思路分析
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[j和v[j来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、 w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:
v[i][0]=v[0][j]=0;//表示填入表的第一行和第一列是0
当w[i]> j时: v[i][j]=v[i-1][j]//当我们加入的新的商品容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
//当准备加入的新的商品下雨等于当前背包的容量时，
//v[i-1][j]就是上一个单元格的装入最大的值
//v[i]当前商品的价值
//v[i-1][j-w[i]]装入i-1个商品到剩余空间j-w[i]的最大值
背包填表的过程
| 物品 | 0磅 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他G | 0 | 1500G | 1500G | 1500G | 1500G |
| 音响S | 0 | 1500G | 1500G | 1500G | 3000S |
| 电脑L | 0 | 1500G | 1500G | 2000L | 3500G+L |
1.假如只有吉他，不管背包容量多大，只能放一把吉他
2.假如有吉他和音响，前面还是只能放吉他，只有当背包容量为4磅的时候才能放入音响
。。。。。。。剩下的同理
验证我们上面的公式
v[1] [1] = 1500;
1.i=1,j=1
2.w[i] = w[1] =1
w[1]=1 j=1 当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
v[1][1] = max {
v[0][1],v[1]+v[0][1-1]} = max{
0,1500+0} = 1500
v[3][4]
i = 3,j = 4
w[i] = w[3] = 3 j=4
v[3][4] = max {
v[2][4],v[3]+v[2][1]} = max{
3000,2000+1500} = max{
3000,3500}=3500
代码
package 算法;
//动态规划 ---- 背包问题
public class dynamic {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] w = {
1,4,3};//物品重量
int[] val = {
1500,3000,2000};//对应的物品价格
int m = 4;//背包容量
int n = val.length;//物品个数
//为了记录放入商品的情况
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//创建二维数组
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//初始化表格第一行和第一列
for(int i=0;i < v.length;i++){
v[i][0] = 0;//将第一列 置为0
}
for(int i=0;i < v[0].length;i++){
v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
}
//根据前面得到的公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) {
//不处理第一行
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
//不处理第一列
//公式
if(w[i-1]>j){
//因为我们的i是从1开始的，因此原来的w[i]修改成w[i-1]
v[i][j] = v[i-1][j];
}else{
//因为我们的i是从1开始的，因此val[i]应该改成val[i-1]
//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要if-else来提现
if(v[i-1][j] < val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
v[i][j] = val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
}else{
v[i][j] = v[i-1][j];
}
}
}
}
//输出下我们的表格 看看情况
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
//输出最后我们放入的那些商品
//遍历path 这样会把所有情况得到，我们只需要最后的情况
// for (int i = 0; i < path.length; i++) {
// for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
// if(path[i][j]==1){
// System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
// }
// }
// }
int i = path.length-1; //行的最大下表
int j = path[0].length-1; //列的最大下表
while(i>0 && j>0){
//从后向前遍历
if(path[i][j] == 1){
System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
j-=w[i-1];
}
i--;
}
}
}
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
第3个商品放入背包
第1个商品放入背包