动态规划算法，可以说已经是各大互联网公司笔试、面试必考的算法之一了，为了抓住金九银十，学习要争分夺秒......
可是如何分辨题目是否可以使用动态规划进行解题呢？别急，动态规划题目的特点可以大致分为以下三类：
1.计数
-有多少种方式走到右下角，比如机器人寻路等
-有多少种方法选出k个数使得和是sum
2.求最大最小值
-从左上角走到右下角路径的最大数字和
-最长上升子序列长度
3.求存在性
-取石子游戏，先手是否必胜
-能不能选出k个数使得和是sum
什么是动态规划？
接下来通过例题进行进一步的分析。
题目：你有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都足够多。买一本书需要27元，如何用最少的硬币组合正好付清，不需要对方找钱。
直觉：直观分析，用最少的硬币组合—>尽量用面值大的硬币，那么
- 7+7+7=21
- 21+5=26
- emmmmm....
貌似不行，再来，换策略
改算法：尽量用最大的硬币，最后如果可以使用一种硬币付清就行
- 7+7+7=21
- 21+2+2+2=27
- 6枚硬币，应该对了吧...
可是答案居然是，居然是
正确答案：7+5+5+5+5=27,5枚硬币
哎，老老实实根据算法，按部就班来做题吧，不YY了。
首先第一步：动态规划组成部分——确定状态
- 状态在动态规划中的作用属于定海神针
- 简答的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似于解数学题中，X，Y，Z代表什么
- 确定状态需要两个意识：最后一步；子问题
最后一步
- 虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是k枚硬币a1,a2,a3,...,ak，面值加起来是27
- 所以一定有一枚最后的硬币：ak
- 除掉这枚硬币，前面硬币的面值加起来是27-ak
关键点1
我们不关心前面的k-1枚硬币是如何拼出27-ak的（可能有1种拼法，可能有100种拼法），而且我们现在甚至还不知道ak和k，但是我们可以确定前面的硬币拼出了27-ak。
关键点2
因为是最优策略，所以拼出27-ak的硬币数一定要最少，否则这就不是最优策略了。
子问题
- 所以我们就要求：最少用多少枚硬币可以拼出27-ak
- 原问题是最少用多少枚硬币拼出27
- 我们将原问题转化成了一个子问题，而且规模更小：27-ak
- 为了简化定义，我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出X
但是，等等，我们还不知道最后那枚硬币ak是多少
由于题目中给出了三种币值，那么最后那枚硬币ak只可能是2,5或7
- 如果ak是2，f(27)应该是f(27-2)+1（加上最后这一枚硬币2）
- 如果ak是5，f(27)应该是f(27-5)+1（加上最后这一枚硬币5）
- 如果ak是7，f(27)应该是f(27-7)+1（加上最后这一枚硬币7）
除此之外，没有其他可能了
因此需要求最少的硬币数，所以不难推出以下关系式
f(27)=min{f(27-2)+1,f(27-5)+1,f(27-7)+1}
根据上面的推导，我们很容易写出递归的程序，如下
public static void main(String[] args) {
System.out.println(getMinCoinCount(27));//5
}
//写一个方法，获取购买X元书需要的最少硬币
public static int getMinCoinCount(int X) {
if (X == 0) return 0;//递归的出口
int res = Integer.MAX_VALUE;//将初始值设置为最大值
//如果ak为2
if (X >= 2 && getMinCoinCount(X - 2) != Integer.MAX_VALUE) {
res = Math.min(getMinCoinCount(X - 2) + 1, res);
}
//如果ak为5
if (X >= 5 && getMinCoinCount(X - 5) != Integer.MAX_VALUE) {
res = Math.min(getMinCoinCount(X - 5) + 1, res);
}
//如果ak为7
if (X >= 7 && getMinCoinCount(X - 7) != Integer.MAX_VALUE) {
res = Math.min(getMinCoinCount(X - 7) + 1, res);
}
return res;
}虽然递归能解决问题，但并不是最好的解决方法，接下来谈谈递归解法的问题
从图中不难看出，f(20)重复计算了3次，f(15)重复计算了两次，如何解决这个问题呢？主角动态规划又站起来了，“放开那方程，让我来”。动态规划的第二步，登上历史舞台
动态规划组成部分二——转移方程
- 设状态f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
- 对于任意X，f(X)=min{f(X-2)+1,f(X-5)+1,f(X-7)+1}
现在，转移方程有了，但是还没完，还有东西。
动态规划组成部分三——初始条件和边界情况
- f(X) = min{f(X-2)+1,f(X-5)+1,f(X-7)+1}
- 两个问题：X-2,X-5或者X-7小于0怎么办？什么时候停下来？
- 如果不能拼出Y，就定义f[Y]=正无穷，例如：f[-1] = f[-2] = ... = 正无穷
- 所以f[1] = min{f[-1]+1,f[-4]+1,f[-6]+1} = 正无穷，表示拼不出1
- 初始条件：f[0] = 0
动态规划组成部分四——计算顺序
- 拼出X所需的最少硬币数：f(X) = min{f(X-2)+1,f(X-5)+1,f(X-7)+1}
- 初始条件：f[0] = 0
- 然后计算f[1],f[2],...,f[27]
- 当我们计算到f[X]时，f[X-2]，f[X-5]，f[X-7]都已经得到结果了
f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
f[X]=无穷 表示无法用硬币拼出X
- 每一步尝试三种硬币，一共27步
- 与递归相比，没有任何重复计算
- 算法时间复杂度（即需要进行的步数）：27*3
- 递归时间复杂度：>>27*3
小结
求最值型动态规划
动态规划的组成部分：
1.确定状态
- 最后一步（最优策略中使用的最后一枚硬币ak）
- 转化子问题（最少的硬币拼出更小的面值27-ak）
2.转移方程
- f(X) = min{f(X-2)+1,f(X-5)+1,f(X-7)+1}
3.初始条件和边界情况
- f[0] = 0，如果不能拼出Y，f[Y] = 正无穷
4.计算顺序
- f[0],f[1],f[2],...
消除冗余，加速计算
最后代码实现，完结！
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {2, 5, 7};//币值的种类
int M = 37;//商品总价
System.out.println(getMinCoinCount(arr, M));
}
public static int getMinCoinCount(int[] arr, int M) {
int[] f = new int[M + 1];//定义动态规划的一维数组
f[0] = 0;//初始条件
for (int i = 1; i <= M; i++) {
f[i] = Integer.MAX_VALUE;//初值设置为无穷大
for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
if (i >= arr[j] && f[i - arr[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
f[i] = Math.min(f[i - arr[j]] + 1, f[i]);
}
}
}
if (f[M] == Integer.MAX_VALUE) {//如果拼不出，返回-1
f[M] = -1;
}
return f[M];
}以上内容均来自B站九章算法课程。
课程地址https://www.bilibili.com/video/BV1xb411e7ww?from=search&seid=15667342454332890058