动态规划算法总结
设长度为N的数组为{a0，a1, a2, …an-1)，则假定以aj结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(j)，则L(j)={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }。也就是说，我们需要遍历在j之前的所有位置i(从0到j-1)，找出满足条件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即为L(j)的值。最后，我们遍历所有的L(j)（从0到N-1），找出最大值即为最大递增子序列。时间复杂度为O(N^2)。
例如给定的数组为{5，6，7，1，2，8}，则L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以该数组最长递增子序列长度为4，序列为{5，6，7，8}。算法代码如下：
1. #include <iostream>
2. using namespace std;
3. #define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //数组长度
4. int lis(int arr[], int len)
5. {
6. int longest[len];
7. for (int i=0; i<len; i++)
8. longest[i] = 1;
9.
10. for (int j=1; j<len; j++) {
11. for (int i=0; i<j; i++) {
12. if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1){ //注意longest[j]<longest[i]+1这个条件，不能省略。
13. longest[j] = longest[i] + 1; //计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度
14. }
15. }
16. }
17.
18. int max = 0;
19. for (int j=0; j<len; j++) {
20. cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;
21. if (longest[j] > max) max = longest[j]; //从longest[j]中找出最大值
22. }
23. return max;
24. }
1. int main()
2. {
3. int arr[] = {1, 4, 5, 6, 2, 3, 8}; //测试数组
4. int ret = lis(arr, len(arr));
5. cout << "max increment substring len=" << ret << endl;
6. return 0;
7. }
算法思想总结：
例如给定的数组为{5，6，7，1，2，8}，则L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以该数组最长递增子序列长度为4，序列为{5，6，7，8}
什么意思呢？
对于这个数组{5，6，7，1，2，8}，假设它的下标为i的时候，它的最长递增序列长度为length
s->对应元素组元素
L->对应最长递增序列
那么L(0) ->s{5}->L{5}->1
L(1) ->s{5,6}->L{5,6}->2
L(2) ->s{5,6,7}->L{5,6,7}->3
L(3) ->s{5,6,7,1}->L{1}->1
L(4) ->s{5,6,7,1,2}->L{1,2}->2
L(5) ->s{5,6,7,1,2,8}->L{5,6,7,8}->5
上面得L(5) = L{5,6,7,8} = {5,6,7} + 8 = L(2) + 1
所以L(5)可能是L(4) + 1或者L(3) + 1 或者L(2) + 1或者L(1) + 1或者L(0) + 1，前提a[5] > a[4]或者a[3]或者a[2]或者a[1]或者a[0]
所以这个例子只是一种情况，所以对于L(i)，他可能是L(0)+1,L(1)+1…L(i-1)+1转移过来的但是很幸运的是动态规划算法把L(0)，L(1)，L(2)….L(i-1)都保存下来了（所以DP当问题复杂度解到第i步的时候，前面所有可能问题的解L(0),L(1),L(2),L(i-1)都保存下来了，这也是它的关键，而DP本身就是求的所有子问题的解L(0),L(1),L(2),L(n)，然后找出所有解最大的那个），前面必须满足条件a[i] > a[j]
如果a[i] < a[j]则不管
注意：最后不一定是L(5)最大（你可以看下L(4) ->s{5,6,7,1,2}->L{1,2}->2，只有两个
），如果上面的条件不满足的话或者a[5]比较小的话，那就是L(2)最大，所以最终还会遍历一遍L数组，寻找最大的那个，任何一个下标对应的都可能最大
还有一点注意：上面的longest[j]<longest[i]+1也很重要，表示如果满足a[i] > a[j]并且加了一个a[j]后，它的个数比原来的longest[j]要大，就赋值，这个为什么能起作用，就是由于初始条件longest[j]全都被初始化为了1，所以这个很关键
总结：
所以DP当问题复杂度解到第i步的时候，前面所有可能问题的解L(0),L(1),L(2),L(i-1)都保存下来了，这也是它的关键，而DP本身就是求的所有子问题的解L(0),L(1),L(2),L(n)，然后找出所有解最大的那个，针对这个例子找的是最大那个