动态规划算法的递归实现

动态规划算法的递归实现，由于被多次的计算，所以时间复杂度比较高，想的办法是每个子问题只算一次，后面用到的时候，把那个值拿过来就可以把时间降下来，这个就是动态规划算法的迭代实现。

一、迭代计算的关键

• 每个子问题只计算一次
• 迭代过程
  （1）从最小的子问题算起
  （2）考虑计算顺序，以保证后面用到的值前面已经计算好
  （3）存储结构保存计算结果——备忘录
• 解的追踪
  （1）设计标记函数标记每步的决策
  （2）考虑根据标记函数追踪解的算法
  当最后优化函数算出来，问题的解是另外一件事情，优化函数比如矩阵链问题，只是运算次数达到最小了，但是括号加的位置这个是问题的解，所以要通过标记函数实现

二、矩阵链乘法不同子问题

长度1：只含1个矩阵，有n个子问题
(不需要计算)
长度2：含2个矩阵，n-1个子问题
长度3：含3个矩阵，n-2个子问题
…
长度n-1：含n-1个矩阵，2个子问题
长度n：原始问题，只有1个

三、矩阵链乘法迭代顺序

长度为1：初值，m[i, i] = 0
长度为2：1…2, 2…3, 3…4, … , n-1…n
长度为3：1…3, 2…4, 3…5, … , n-2…n
…
长度为n-1：1…n-1, 2…n
长度为n：1…n

四、n=8的子问题计算顺序

一共是八个矩阵A₁…A₈，初值不考虑了，

1、长度为2的子问题：

（A₁，A₂），（A₂，A₃），…，（A₇，A₈）

2、长度为3的子问题：

（A₁，A₂，A₃），（A₂，A₃，A₄），…，（A₆，A₇，A₈）

3、…

4、原始问题：

（A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇，A₈）

五、代码实现

1. 令所有的m[i,i]初值为0
2. for r←2 to ndo	// r为链长
3. for i←1 to n−r+1 do  // 左边界i
4.	j←i+r−1	// 右边界j 
5. m[i,j]←m[i+1,j]+pi−1pi pj//k=i
6.      s[i,j]←i	                  //记录k
7.      for k←i+1 to j−1 do  // 遍历k
8.          t←m[i,k]+m[k+1,j]+pi−1 pkpj
9.          if  t<m[i,j]
10.        then m[i,j]←t //更新解
11.                 s[i,j]←k 

m记录的是所有子问题的最少乘法次数，s记录的是分界的位置

六、时间复杂度

• 根据伪码：行2, 3, 7 都是O(n)，循环
  执行O(n3)次，内部为O(1)
  W(n) = O(n3)
• 根据备忘录：估计每项工作量, 求和.
  子问题有O(n2)个，确定每个子问题的
  最少乘法次数需要对不同划分位置比
  较，需要O(n)时间.
  W(n) = O(n3)
  •追踪解工作量O(n)，总工作量O(n³)

七、实例

行列参数在P里面，矩阵个数为5个矩阵，这5个矩阵的行列号都可以有参数列出来

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1、输入：

P = < 30, 35, 15, 5, 10, 20 >,
n = 5

2、矩阵链：

A₁A₂A₃A₄A₅，其中
A₁:30×35，A₂:35×15，A₃:15×5，
A₄:5×10，A₅:10×20

3、备忘录：

存储所有子问题的最小乘法
次数及得到这个值的划分位置.