title: 动态规划算法助记
Never say die !
矩阵连乘问题
题目描述：
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如：
A1={30x35}
A2={35x15}
A3={15x5}
A4={5x10}
A5={10x20}
A6={20x25}
最后的结果为：((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次为15125。
解题思路：
能用动态规划的一个性质就是最优子结构性质。
也就是说计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子琏A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算（即先从最小的开始计算）。
在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
我们可以根据下面这个公式来计算结果。其中p[i-1]表示的是第i个矩阵的行数,p[k]表示i:k矩阵合起来后最后得到的列数，p[j]是k+1:j合起来后得到的列数。这个部分的计算方法其实就是计算两个矩阵相乘时总共的乘次数。
公式：
从连乘矩阵个数为2开始计算每次的最小乘次数m[i][j]:
m[0][1] m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5] //m[0][1]表示第一个矩阵与第二个矩阵的最小乘次数然后再计算再依次计算连乘矩阵个数为3:
m[0][2] m[1][3] m[2][4] m[3][5]连乘矩阵个数为4：
m[0][3] m[1][4] m[2][5]连乘矩阵个数为5：
m[0][4] m[1][5]连乘矩阵个数为6：
m[0][5] //即最后我们要的结果