一、问题
公司现在有8个任务，任务1-8的薪水分别是：5、1、8、4、6、3、2、4，有些任务之间是有时间冲突的，比如选了任务8就不能选任务6和7，而选了任务5就不能选任务1、2、3、4、6、7。如图，横轴代表时间，灰色矩形代表每个任务，矩形开始和结束的横坐标分别对应每个任务的开始和结束时间，红色数字代表薪水。比如任务1开始时间是1，结束时间是4，持续了（4-1）即3小时，薪水为5。现在的问题是，如何在0-11点之间，从这8个任务中选择时间互不冲突的若干个任务，使得得到的总薪水最大。
二、分析最优子结构、重叠子问题
用OPT(i)代表考虑第1至第i个任务时的最优解，比如OPT(5)代表考虑前5个任务的最优解，OPT(8)代表考虑前8个任务的最优解，考虑这个问题最关键的就是，分析每个任务选和不选的两种情况。现在由上图可知，选了任务8就不能选任务6和7，而任务8也可以不选，所以，当考虑OPT(8)时我们要考虑：
（1）如果选了任务8，任务6和7就不能选，那么只要再考虑前5个任务的最优解，即OPT(5)；
（2）如果不选任务8，那只要考虑前7个任务的最优解，即OPT(7)，就可以了；
（3）最后，我们比较上面两种情况得到的薪水，由薪水大小决定究竟选不选任务8
故OPT(8)=max{OPT(5)+4,OPT(7)}，这里的4是指任务8的薪水，由上图可知是4
最后推出递归式：
上式，OPT(i)代表考虑前i个任务的最优解（1≤i≤8），Vi代表第i个任务的薪水，prev(i)是一个数组，标记如果选择了第i个任务，则剩余只要考虑前几个任务就可以了，比如prev(8)=5,如果选了第8个任务，只要考虑前5个就可以了；prev(6)=2，如果选了第6个任务，只要考虑前2个就可以了；
根据这个问题，我们可以得到Vi表：
| V1 | V2 | V3 | V4 | V5 | V6 | V7 | V8 |
| 5 | 1 | 8 | 4 | 6 | 3 | 2 | 4 |
prev(i)表：
| prev(1) | prev(2) | prev(3) | prev(4) | prev(5) | prev(6) | prev(7) | prev(8) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 3 | 5 |
最终由递推式计算得到OPT(i)表，注意初始时OPT(0)=0,而OPT(8)就是我们要的最终解：
| OPT(0) | OPT(1) | OPT(2) | OPT(3) | OPT(4) | OPT(5) | OPT(6) | OPT(7) | OPT(8) |
| 0 | 5 | 5 | 8 | 9 | 9 | 9 | 10 | 13 |
上表中，比如OPT(3)代表如果只考虑前3个任务能得到的最大薪水，由于
OPT(3)=max{OPT(0)+8,OPT(2)}
而OPT(0)+8=8，OPT(2)已经计算好，为5，那么OPT(0)+8 > OPT(2)，（注：
OPT(2)是怎么来的： 计算OPT(2)=max{OPT(0)+1,OPT(1)} 得到 OPT(0)+1 < OPT(1)
由于OPT(1)大所以要考虑OPT(1)是怎么来的： OPT(1)=max{OPT(0)+5,OPT(0)}=OPT(0)+5=5
）
可见如果只考虑前3个任务，我们选做任务集合为{3}时，就能得到最大薪水，为8
其他以此类推。
所以,最终能得到的最大薪水为OPT(8)=13。