SP1026 FAVDICE - Favorite Dice 期望dp

传送门

题意：

一个n面的骰子，求期望掷几次能使得每一面都被掷到。

思路：

考虑期望$dp$。定义$f[i]$表示有$i$面了，还需要多少次能到$n$面。当前是$i$面，所以选到新的面的概率是$\frac{n-i}{n}$，选到已经有的面的概率是$\frac{i}{n}$。那么转移也就比较明显了：$$f[i]=f[i+1]\ast \frac{n-i}{n}+f[i]\ast \frac{i}{n}+1$$
转化成人话就是：我们有$\frac{n-i}{i}$的概率再需要$f[i+1]$步，有$\frac{i}{n}$的概率再需要$f[i]$步。

当然还有别的解法。
我们知道$\frac{1}{概率}=期望$，而且$期望=期望+期望$，可以先求出概率让后取倒数即可。
假设当前有$i$个不同的数，得到新数的概率是$p=\frac{n-i}{n}$，那么期望就是$\frac{1}{p}=\frac{n}{n-i}$，答案就是${\sum }_{i=0}^{n-1}\frac{n}{n-i}={\sum }_{i=1}^n\frac{n}{i}$。

下面是概率$dp$解法。

//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;

//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;

const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;

int n;
double ans;

int main()
{
    
    
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);

    int _; scanf("%d",&_);
    while(_--)
    {
    
    
        scanf("%d",&n);
        ans=0.0;
        for(int i=n-1;i>=0;i--) ans+=1.0*n/(n-i);
        printf("%.2f\n",ans);
    }


	return 0;
}
/*

*/