期望的逆推 及 HDU 4652 Dice

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Problem

HDU

Solution

鉴于Rayment的期望dp实在是太差了，他只好写一些套路的水题了……

什么叫期望的逆推呢。。？

那就是对于现在的状态S，我们去考虑它的所有后继状态${T_1,T_2\cdots T_m}$，且各个后继发生的概率是$p_1,p_2\cdots p_m$和它们分别的转移代价$c_1,c_2\cdots c_m$，那么就有$E(S)=\sum_{i=1}^m (E(T_i)+c_i)p_i$

比如我们来看个简单的例子，问一个正常的硬币期望抛多少次可以得到正面？我们设这个答案为x，那么$x=0.5*(0+1)+0.5(x+1)$，解方程可以得到$x=1$。

那么我们来看这道题，其实是两个不同的问题。

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对于第一个问题，我们设$f[i]$表示已经有i个连续相同的数字，离达到连续n个期望多少次。则有

$$f[i]=\frac 1 m f[i+1]+\frac {m-1} m f[1]+1$$

按照套路，作差可得$m(f[i+1]-f[i])=f[i+2]-f[i+1]$

然后我们又有$f[0]-f[1]=1,f[n]=0$，上等比数列求和公式$ans=f[0]=\frac {m^n-1} {m-1}$

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对于第二个问题，设$f[i]$表示已经有i个连续不相同的数字，离达到连续n个期望多少次。

$$f[i]=\frac {m-i} m f[i+1]+\frac {\sum_{j=1}^i f[j]} {m}$$

我们又作差

$$f[i]-f[i+1]=\frac {m-i-1} m(f[i+1]-f[i+2])$$

不会用求和公式了，直接暴力$O(n)$搞一搞就行了。

顺带一提，这个数据不知为什么用read会TLE，改成scanf就可以了。

Code

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define rg register
using namespace std;
typedef long long ll;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
int z,m,n,op;
double ans,tmp;
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    while(~scanf("%d",&z))
    {
        while(z--)
        {
            scanf("%d%d%d",&op,&m,&n);
            if(!op) ans=(pow(m,n)-1.0)/(m-1.0);
            else
            {
                tmp=1.0;ans=0.0;
                for(rg int i=0;i<n;i++) tmp*=1.0*m/(m-i),ans+=tmp;
            }
            printf("%.9lf\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}