【LightOJ - 1248 Dice (III)】概率&期望DP

LightOJ - 1248 Dice (III)

题意

给你一个n面的均匀的骰子，问期望摇多少次可以看到所有的面。

做法

首先我们设dp[i]为当前看到不同的i面，可以看到所有面的期望次数，很显然dp[n]=0
之后我们可以根据概率得到转移方程

$dp[i]=(\frac{n-i}{n}*(dp[i+1]+1))+\frac{i}{n}*(dp[i]+1)$’

方程的意义为：当前看到i个不同的面，有 $\frac{n-i}{n}$的几率看到一个没看过的面，之后的期望就是 $dp[i+1]$的期望，有 $\frac{i}{n}$的几率看到一个已经看过得面，期望就是 $dp[i]$，之后直接化简得到：

$dp[i]=dp[i+1]+1+\frac{i}{n-i}$

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;
double dp[maxn];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    int cas=0;
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            dp[i]=dp[i+1]+1+1.0*i/(n-i);
        }
        printf("Case %d: %.12f\n",++cas,dp[0]);
    }
    return 0;
}