POJ 1661 Help Jimmy
Description
“Help Jimmy” 是在下图所示的场景上完成的游戏：
场景中包括多个长度和高度各不相同的平台。地面是最低的平台，高度为零，长度无限。Jimmy老鼠在时刻0从高于所有平台的某处开始下落，它的下落速度始终为1米/秒。当Jimmy落到某个平台上时，游戏者选择让它向左还是向右跑，它跑动的速度也是1米/秒。当Jimmy跑到平台的边缘时，开始继续下落。Jimmy每次下落的高度不能超过MAX米，不然就会摔死，游戏也会结束。设计一个程序，计算Jimmy到地面时可能的最早时间。
Input
个整数N，X，Y，MAX，用空格分隔。N是平台的数目（不包括地面），X和Y是Jimmy开始下落的位置的横竖坐标，MAX是一次下落的最大高度。接下来的N行每行描述一个平台，包括三个整数，X1[i]，X2[i]和H[i]。H[i]表示平台的高度，X1[i]和X2[i]表示平台左右端点的横坐标。1<= N <=1000，-20000<= X, X1[i], X2[i] <= 20000，0 < H[i] < Y <= 20000（i = 1…N）。所有坐标的单位都是米。Jimmy的大小和平台的厚度均忽略不计。如果Jimmy恰好落在某个平台的边缘，被视为落在平台上。所有的平台均不重叠或相连。测试数据保Jimmy一定能安全到达地面。
Output
Jimmy到地面时可能的最早时间。
Sample Input
1
3 8 17 20
0 10 8
0 10 13
4 14 3
Sample Output
23
方法一 记忆递归
//记忆递归
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using amespace std;
#define MAX_N 1000
#define INFINITE 1000000
int n, maxHeight;
struct Platform
{
int Lx, Rx, h;
bool operator < (const Platform & p) const{
return h > p.h;
}//重载运算符'<'
};
Platform platForms[MAX_N + 10];
int leftMinTime[MAX_N + 10];
int rightMinTime[MAX_N + 10];
int MinTime(int num, bool Left)//num为平台编号，Left表示向左走
{
int y = platForms[num].h;
int x;
if(Left) x = platForms[num].Lx;
else x = platForms[num].Rx;
int i;
for( i = num + 1;i <= n;i ++ )
{
if( platForms[i].Lx <= x && platForms[i].Rx >= x)
break;//Jimmy能落到第i块板子上
}
if( i <= n )
{
if( y - platForms[i].h > maxHeight )//两平台间距大于最大间距
return INFINITE;//Jimmy摔死
}
else {
//Jimmy在最后一块板子上
if( y > maxHeight) return INFINITE;
else return y;
}
int nLeftTime = y - platForms[i].h + x - platForms[i].Lx;
//从第num块板子下降到第i块板子所需时间和从第num块板子左（右）端走到第i块板子左端花费的时间
int nRightTime = y - platForms[i].h + platForms[i].Rx - x;
//从第num块板子下降到第i块板子所需时间和从第num块板子左（右）端走到第i块板子右端花费的时间
if(!leftMinTime[i]) //从第i号板子左端到地面的最短时间
leftMinTime[i] = MinTime(i, true);
if(!rightMinTime[i])//从第i号板子右端到地面的最短时间
rightMinTime[i] = MinTime(i, false);
nLeftTime += leftMinTime[i];
nRightTime += rightMinTime[i];
if( nLeftTime < nRightTime )
return nLeftTime;
return nRightTime;
}
int main()
{
int t, x, y;
scanf("%d",&t);
for( int i = 0;i < t; i++ )
{
memset(leftMinTime, 0, sizeof(leftMinTime));
memset(rightMinTime, 0, sizeof(rightMinTime));
scanf("%d%d%d%d",&n, &x, &y, &maxHeight);//输入平台数，Jimmy的初始坐标及能下降的最大高度
platForms[0].Lx = x;
platForms[0].Rx = x;//Jimmy所在的平台长度为0
platForms[0].h = y;
for( int j = 1; j <= n; j ++ )
scanf("%d%d%d",&platForms[j].Lx,& platForms[j].Rx, & platForms[j].h);
sort(platForms, platForms+n+1);//将平台按高度从大到小进行排序，即将Jimmy所在的长度为0的编号为0再依次编号
printf("%d\n", MinTime(0, true));//假设向左走从第i块板子到地面的最短时间
}
return 0;
}
方法二 递推
//递推
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX_N 1000
#define INFINITE 1000000
int t,n,x,y,maxHeight;
struct Platform{
int Lx, Rx, h;
bool operator < (const Platform & p) const {
return h > p.h;
}
};
Platform platforms[MAX_N + 10];
int leftMinTime[MAX_N + 10]; //各板子从左走最短时间
int rightMinTime[MAX_N + 10]; //各板子从右走最短时间
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d%d%d",&n, &x, &y, &maxHeight);
platforms[0].Lx = x;
platforms[0].Rx = x;
platforms[0].h = y;
for( int j = 1; j <= n; j ++ )
scanf("%d%d%d",&platforms[j].Lx,& platforms[j].Rx,& platforms[j].h);
sort(platforms,platforms+n+1);
for( int i = n ; i >= 0; i-- )
{
int j;
for( j = i + 1; j <= n ; ++ j ) {
//找i的左端的下面那块板子
if( platforms[i].Lx <= platforms[j].Rx && platforms[i].Lx >= platforms[j].Lx)
break;
}
if( j >n ) {
//找不到
if( platforms[i].h > maxHeight ) leftMinTime[i] = INFINITE;
else leftMinTime[i] = platforms[i].h;
}
else {
int y = platforms[i].h - platforms[j].h;
if( y > maxHeight) leftMinTime[i] = INFINITE;
else leftMinTime[i] = y + min(leftMinTime[j]+platforms[i].Lx-platforms[j].Lx,
rightMinTime[j]+platforms[j].Rx-platforms[i].Lx);
}
for( j = i + 1; j <= n ; ++ j ) {
//找i的右端的下面那块板子
if( platforms[i].Rx <= platforms[j].Rx&& platforms[i].Rx >= platforms[j].Lx)
break;
}
if( j > n ) {
if( platforms[i].h > maxHeight ) rightMinTime[i] = INFINITE;
else rightMinTime[i] = platforms[i].h;
}
else {
int y = platforms[i].h - platforms[j].h;
if( y > maxHeight) rightMinTime[i] = INFINITE;
else rightMinTime[i] = y + min(leftMinTime[j]+platforms[i].Rx-platforms[j].Lx,
rightMinTime[j]+platforms[j].Rx-platforms[i].Rx);
}
}
printf("%d\n", min(leftMinTime[0],rightMinTime[0]));
}
return 0;
}
算法解析
Jimmy跳到一块板上后，可以有两种选择，向左走，或向右走。走到左端和走到右端所需的时间，是很容易算的。如果我们能知道，以左端为起点到达地面的最短时间，和以右端为起点到达地面的最短时间，那么向左走还是向右走，就很容选择了。因此，整个问题就被分解成两个子问题，即Jimmy所在位置下方第一块板左端为起点到地面的最短时间，和右端为起点到地面的最短时间。这两个子问题在形式上和原问题是完全一致的。将板子从上到下从1开始进行无重复的编号(越高的板子编号越小，高度相同的几块板子，哪块编号在前无所谓)，那么，和上面两个子问题相关的变量就只有板子的编号。
不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，假设LeftMinTime(k)表示从k号板子左端到地面的最短时间RightMinTime(k)表示从k号板子右端到地面的最短时间，那么，求板子k左端点到地面的最短时间的方法如下：
if (板子k左端正下方没有别的板子)
{
if(板子k的高度 h(k) 大于Max)
LeftMinTime(k) = ∞;
else LeftMinTime(k) = h(k);
}
else if( 板子k左端正下方的板子编号是m )
LeftMinTime(k) = h(k)-h(m) + min(LeftMinTime(m) + Lx(k)-Lx(m),RightMinTime(m) + Rx(m)-Lx(k));
上面，h(i)就代表i号板子的高度，Lx(i)就代表i号板子左端点的横坐标，Rx(i)就代表i号板子右端点的横坐标。那么 h(k)-h(m) 当然就是从k号板子跳到m号板子所需要的时间，Lx(k)-Lx(m) 就是从m号板子的落脚点走到m号板子左端点的时间，Rx(m)-Lx(k)就是从m号板子的落脚点走到右端点所需的时间。求RightMinTime(k)的过程类似。不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，那么整个问题就是要求LeftMinTime(0)。输入数据中，板子并没有按高度排序，所以程序中一定要首先将板子排序。
时间复杂度：
一共 n个板子，每个左右两端的最小时间各算一次 o ( n ) o(n) o(n)
找出板子一段到地面之间有那块板子，需要遍历板子 o ( n ) o(n) o(n)
总的时间复杂度 o ( n 2 ) o(n^2) o(n2)