Coin Game HDU - 3951 博弈论NP推理，利用镜像的对称性

• 首先，对于一种情况：$n\le k$的时候，直接先手必胜，一步全拿即可。
• 当 $k=1$ 的时候，此时若 $n$ 为奇数，则先手必胜，为 $N$ 点；若 $n$ 为偶数，则先手必败，为 $P$ 点。
• 对于剩下的情况，则需要用镜面原理来探究了。首先对于先手，取了任意颗石子之后，后手可以根据剩余石子数量的奇偶性来进行选取，保证最后造成的两片对称。
• 题目意思是只能够取连续的片段，所以在上面中，原本是一个环状的，先手取完之后形成了一个圆弧，后手再对这个圆弧分成一模一样的两片：若先手取完之后剩余的石子数量为奇数个，则后手取 $1$ 个石子，使该圆弧形成一模一样的两个圆弧；反之若先手取完之后剩余的石子数量为偶数个，则后手取 $2$ 个石子，形成两个一模一样的圆弧。
• 在形成一模一样的两个圆弧之后，下一轮先手无论从哪一边取，后手就选取对面那个进行一模一样的取法，则可以保证后手必胜。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uii;
typedef pair<int, ll> pii;
template<typename T>
inline void rd(T& x)
{
    
    
	int tmp = 1; char c = getchar(); x = 0;
	while (c > '9' || c < '0') {
    
     if (c == '-')tmp = -1; c = getchar(); }
	while (c >= '0' && c <= '9') {
    
     x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	x *= tmp;
}
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 1e7 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k;
int main() {
    
    
#ifdef _DEBUG
	FILE* _INPUT = freopen("input.txt", "r", stdin);
	//	FILE* _OUTPUT = freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif // !_DEBUG
	int cas = 0, T = 0;
	rd(T);
	while (T--) {
    
    
		//	while (~scanf("%d", &n),~n) {
    
    
		rd(n), rd(k);
		printf("Case %d: ", ++cas);
		if (n <= k) puts("first");
		else if (k == 1) {
    
    
			if (n & 1) puts("first");
			else puts("second");
		}
		else puts("second");
	}
	return 0;
}