离散数学(二）之特殊关系（内容来自冯伟森《离散数学》教材+课件）

等价关系

等价关系与等价类

**1.等价关系：**设R是非空集合A上的一个二元关系，如果R是自反的、对称的和可传递的，称R是A上的一个等价关系。

**2.等价类：**设R是非空集合A上的一个等价关系。对每一个a∈ A，记 [a]_R={ x | x∈ A，且xRa }，称A的子集合[a]_R为关系R的一个等价类， a称为代表元素。 [a]_R可以简记为[a]。
等价类特点： 同一子集中的元素之间有关系R，不同子集的元素间无关系R。

等价类的性质

定理 设R是非空集合A上的等价关系，则
① 对任意x∈A， [x]_R≠Φ ；
② 对任意a, b∈A， 要么[a]=[b]， 要么[a]∩[b]=Φ；
③ U[a]=A。

划分

**1.定义：**设A是一个非空集合， A₁, A₂, …, A_m都是A的非空子集，集合族π={A₁, A₂, …, A_m}，如果

1. π是A的覆盖，即UA_i=A
   2)A_i∩A_j=∅（i,j=1,2,…m且i≠j）
   则称π是集合A上的一个划分，记为π(A)； 而A₁,A₂,A₃,…A_m称为这个划分的块。

2.等价关系与划分的联系
**定理：**非空集合A上每一个等价关系都能决定A的一个划分； A的每个划分都能导出A上的 一个二元等价关系。（等价类和划分是相同概念的不同描述）

偏序关系

定义

设R是非空集合A上的二元关系。如果R是自反的， 反对称的和可传递的，则称R是A上的一个偏序关系。称序偶〈A, R〉 为偏序集合。偏序集〈A, R〉 常记为〈A, ≼〉 。R是偏序时， aRb就记为a ≼ b。

哈斯图

1.从关系图得到Hassea图的方法：
(1) 去掉自环； （自反性）
(2) 去掉传递边； （传递性）
(3) 将所有箭头朝上，去掉箭头的方向。
（反对称性）

2.可比较与不可比较
定义：设a和b是偏序集〈A, ≼〉中的两个元素。如果a≼b或b≼a之一成立，则称a和b是可比较的；反之则称a和b是不可比较的。

在哈斯图中，元素分层排列，同一层元素不可比较。

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偏序集的特殊元素

1.极大元、极小元
定义：设〈A, ≼〉 是一个偏序集， a是A中元素，
① 若∀x∈ A，或者x≼a，或者x与a不可比， 则称a是A中的一个极大元。
② 若∀x∈ A，或者a≼x，或者a与x不可比， 则称a是A中的一个极小元。

2.最大元、最小元
定义：设〈A, ≼〉 是一个偏序集， a是A中元素，
① 若∀x∈ A，均有x≼a， 则称a是A中的最大元。
② 若∀x∈ A，均有a≼x， 则称a是A中的最小元。

3.上界、下界
定义：设〈A, ≼〉 是一个偏序集， B⊆ A， a是A中元素，
① 如果∀b∈ B，均有b≼a， 则称a是子集B的一个上界。如果a’是B的任意一个上界时，都有a≼a’，则称a是B的最小上界，记为lub。
② 如果∀b∈ B，均有a≼b， 则称a是子集B的一个下界。如果a’是B的任意一个下界时，都有a’≼ a，则称a是B的最大下界 ，记为glb。

全序集与良序集

全序集

定义：如果偏序集〈A, ⋞〉 中的任何两个元素都是可比较的，则称⋞是A上的一个全序（线序）关系，这时的序偶〈A, ⋞〉 是全序集合或链。

定义：设<A, ≼>是一个偏序集， B⊆A。 如果<B,≼>是一个全序子集， 则称B为A中的一条链。链中元素数目减1称为该链的长度。

良序集合

定义：设〈A, ≼〉 是全序集，如果A的任何非空子集B都有最小元，就称〈A, ≼〉 为良序集。
例如： 〈N, ≼〉 是良序集 ；〈N, ≥〉 不是良序集。
一般地， 任何有限的全序集的每一个非空的子集一定有最小元， 所以， 有限全序集一定是良序集。对于无穷的全序集， 则并非如此。 如全序集<N,≼>是良序集， 但全序集<Z,≼>、<[0,1), ≼>都不是良序集，因为Z的子集(负整数集)和[0,1)的子集(0,1)都没有最小元。

偏序与全序的转化

定义:设≼和≼’是集合A上的两个偏序关系，如果对∀a,b∈A，每当a ≼ b时，有a ≼ b，则称关系≼与≼’是可比较的。

定义:设≼和≼’是集合A上的两个偏序关系。如果≼和≼’是可比较的，且≼’是全序关系，则称关系≼是关系 ≼’的一个拓扑排序。
由拓扑排序定义的全序关系是什么？ 完全取决于极小元的选择方法。
定理: 任何有限偏序集都可以转变成全序集。