离散数学基础

一、数理逻辑

1.1 命题逻辑

1. 命题：能判断其真假的陈述句。

命题的真值是唯一的。

2. 命题联结词（为了符号化 复合命题）：否定、合取、析取、蕴含、等价

3. 运算符的优先级：否定、合取、析取、蕴含、等价（优先级依次降低）

4. 例题将命题符号化：

5. 公式的类型

• 重言式：公式真值恒为1（永真式）
• 矛盾式：公式的真值恒为0（永假式）
• 可满足式：不是矛盾式（重言式也是可满足式）

6. 命题逻辑的等值演算

判断公式的类型：

• 用真值表法；
• 用等值演算法
  等值演算法的思路：
  

7. 合取范式、析取范式（因为不唯一，所以有了主合取范式和主析取范式）

• 命题常量/常元：（P：雪是白色的），P不能再表示别的命题
• 命题变量/变元：（P），P不写出具体代表的命题
  
  析取范式和合取范式里面只能有三个符号：

8. 主析取范式、主合取范式

总结：

• 小项：成真赋值；大项：成假赋值
• 主合取范式：由大项组成；主析取范式：由小项组成
• 求主合取范式和主析取范式：真值表法和等值演算法
• 掌握：等值演算法中，从主合取范式怎么到主析取范式

9. 命题逻辑的推理理论

• 直接证明
• 归谬法：反证法
• 附加前提证明法：结论是复合的
  
  

1.2 谓词逻辑

命题逻辑有一定局限性，有时无法判断一些常见的推理

1.谓词的基本概念：个体词、谓词

2. 个体域、量词

3. 用谓词逻辑将命题符号化

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二、集合

1. 集合和元素、集合之间的关系

1. 集合和元素之间的关系：元素属于/不属于集合
2. 集合和集合之间的关系：集合包含/不包含/等于集合

2. 集合的基本运算（差运算/相对补集、绝对补集、幂集）

提示：

1. E：全集，也可表示为U
2. A ⊕ B = （A-B）U （B-A）

3. 集合相等（包含）的证明

一个重要公式： A-B = A∩(~B)

4. 包含排除原理

例题：

必要时画文氏图！

5. 集合之间的二元关系

关系的表示：关系矩阵、关系图

自反和反自反不是非A即B的关系！

例题：



例题：

哈斯图：第二个元素往上走；有传递性；无箭头

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三、图论

图：无向图、有向图

1. 基本概念

度数为1 的结点 称为：悬挂结点；
与悬挂结点相连的边 称为 悬挂边

2. 握手定理：描述边和度数之间的关系

例题：

3. 通路、回路和连通的概念

4. 欧拉图、哈密顿图

4.1 欧拉图：

例题：

4.2 哈密顿图

欧拉图和哈密顿图的区别：
欧拉图是包含所有边一次且仅一次；
哈密顿图是包含所有结点一次且仅一次

例题：

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参考课程：高数叔离散数学