离散数学-绪论-集合与关系

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A={a|P}
p是指某种性质
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①序对(序偶)的概念
在坐标<x,y>,若a1,a2是两个元素,按先后顺序将他们排列在一起,并且作为一个整体来看待,则称它为一个序偶,记为(a1,a2)

②AXB={<a,b>|a∈A , b∈B  }  笛卡尔积

A={a,b} B={1,2,3}
AXB={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}
BXA={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}

AXB≠BXA
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关系

集合AXB的每一个子集R都称为从A到B的一个关系,当A=B时,就称R是定义在A上的一个关系  aRb  a 称为前驱 b 称为后继

设R是在非空集合A上的一个关系
1,如果对于A中的任何元素a,都有<a,a>∈R,则称关系R是自反的
2,如果对于A中的任何元素a都没有<a,a>∈R,则称关系R是反自反的
3,如果对于A中的任何元素a和b,当<a,b>∈R时,必有<b,a>∈R,则称关系R是对称的
4,如果对于<a,b>∈R且<b,a>∈R时,必有a=b,则称R是反对称的
5,当<a,b>∈R,<b,c>∈R,则必有<a,c>∈R,则称关系R是传递的

当集合A上定义的关系R是自反的,对称的,传递的,这时就称R是一个等价关系
当集合A上定义的关系R是自反的,反对称的,传递的,这时就称R是集合A上的一个部分序(或偏序)关系,对于一个偏序集来说至少元素没有前缀,至少有一个元素没有后继

在偏序的基础上,即(A,R)是一个偏序集,并且关系R满足下面条件:对于A中的任何元素a,b,<a,b>∈R和<b,a>∈R两者至少有一个成立,这时就称R是集合A上的一个序(或完全序)关系