抛硬币直到连续出现两次字为止

题目：

[plain]view plaincopy
       
假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。

上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为Shuo Chen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系

　　T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)

解方程可得到 T = 6. 由于上面这个方法只能得到期望，而无法得到方差以及具体某个事件的概率，后来我又仔细分析了一下，推出了概率生成函数为（推导的过程暂时略过，后面你会看到一个更一般、更简单的推导）

　　 $G(z)=\frac{z^2}{4-2z-z^2}$

于是可以算出方差 V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。将G(z)根据Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展开，可以得到需要抛n次硬币的概率为

　　 $[z^n]G(z)=\frac{1}{2\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^{n-1}-\frac{1}{2\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^{n-1}=\frac{1}{2^n}F_{n-1}$

其中Fn是Fibonacci数列的第n项。到这里，我觉得这个问题似乎已经完全解决了，直到昨天看到Matrix67的牛B帖。在此帖中Matrix67大牛用他那神一般的数学直觉一下将需要连续抛出n个字的一般情形给解决了，而且得出的结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。这也给了我一些启发，我试着将上面的过程进行推广，居然得到一个简单得出人意料的解法（甚至比上面n=2的推导过程还简单）。这个解法的关键在于下面这个递推关系

　　Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn

也即是有Tn = 2 * Tn-1 + 2。由于 T1 = 2，因此可以得到Tn = 2^(n+1) – 2。上面的递推关系是怎么来的呢，一个直观的理解是这样的：首先先抛掷Tn-1次，得到连续的n-1个字，然后再抛一次，若是字，则游戏结束；否则需要重头开始，也就是说又需要 Tn 次。

期望投掷次数已经得出来了，但是我们还想知道方差、恰好需要投掷 m 次的概率等其它一些更具体的性质。为了方便理解概率的分布情况，我先用程序生成了一个概率表如下所示。在下表中，第n行、第m列的元素为 Pnm，表示首次出现连续n个字的投掷数为m的概率。

1/2	1/4	1/8	1/16	1/32	1/64	1/128	1/256	1/512	1/1024
0	1/4	1/8	2/16	3/32	5/64	8/128	13/256	21/512	34/1024
0	0	1/8	1/16	2/32	4/64	7/128	13/256	24/512	44/1024
0	0	0	1/16	1/32	2/64	4/128	8/256	15/512	29/1024
0	0	0	0	1/32	1/64	2/128	4/256	8/512	16/1024

仔细观察上表，你发现什么有趣的性质没？如果忽略掉分母的话，那么第n行恰好是一个n阶Fibonacci数列。例如可以考查各行的最后一列，有

第一行：1 = 1

第二行：34 = 21 + 13

第三行：44 = 24 + 13 + 7

第四行：29 = 15 + 8 + 4 + 2

第五行：16 = 8 + 4 + 2 + 1 + 1

怎么解释这个现象呢？我们再来仔细考虑一下掷硬币的过程，为方便在下文中用1表示字，用0表示花，于是我们的目标是要恰好使用m次投掷，得到连续的n个1.

若第一次的结果为 0，那么剩下的任务就是恰好使用m-1次投掷得到到连续的n个1.

若前两次的结果为 10, 那么剩下的任务就是恰好使用m-2次投掷得到到连续的n个1.

若前三次的结果为 110, 那么剩下的任务就是恰好使用m-3次投掷得到到连续的n个1.

若前四次的结果为 1110, 那么剩下的任务就是恰好使用m-4次投掷得到到连续的n个1.

…

若前n-1次的结果为 1…10(n-2个1), 那么剩下的任务就是恰好使用1次投掷得到到连续的n个1.

你或许已经看出来了，这里实际上是在枚举首次出现0的位置。由于首个0出现在位置i的概率为1/2^i，于是得到Pnm的递推公式

　　 $P_{nm}=\frac{1}{2}P_{n(m-1)}+\frac{1}{4}P_{n(m-2)}+\frac{1}{8}P_{n(m-3)}+\cdots +\frac{1}{2^n}P_{n(m-n)}$

于是根据初始条件： $P_{nm} = 0\; if \; m < n$ ， $P_{nn}=1/2^n$ ，我们可以推出所有事件的概率。现在来推一下概率生成函数，设需要得到连续n个1的投掷数的概率生成函数为Gn(z)，于是有

　　 $G_n(z)=P_{n0}+P_{n1}z+P_{n2}z^2+P_{n3}z^3+\cdots+P_{nn}z^n+P_{n(n+1)}z^{n+1}+\cdots$

根据上面的递推公式和初始条件，可以得到

　　 $G_n(z)(1-\frac{1}{2}z-\frac{1}{4}z^2-\cdots-\frac{1}{2^n}z^n)=\frac{1}{2^n}z^n$

于是可解得

　　 $G_n(z)=\frac{z^n(2-z)}{2^{n+1}(1-z)+z^{n+1}}$

分别代入 n = 1 和 n = 2 可以得到

　　 $G_1(z)=\frac{z}{2-z}=\frac{1}{2}z+\frac{1}{4}z^2+\frac{1}{8}z^3+\cdots$

　　 $G_2(z)=\frac{z^2}{4-2z-z^2}=\frac{1}{4}z^2+\frac{1}{8}z^3+\frac{2}{16}z^3+\cdots$

以我们前面得到的结果一致，这证明这个概率生成函数的确是正确的。有了生成函数后，我们又多了一种计算期望的方式

　　 $T_n=G'_n(1)=2^{n+1}-2$

而方差也可以非常容易的得到

　　 $V_n=G''_n(1)+G'_n(1)+G'_n(1)^2=-2-2^{n+1}+4^{n+1}-2^{n+2}n$

至此，这个抛硬币的问题终于应该算是被完全解决了，完。

题目：一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。

方法：面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。

这是一个求数学期望的问题，最终是求1，2，3出现至少一次的最短长度的期望。

这样分叉树的每个节点是一个期望状态，而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现1、2、3各至少一次的情形记作L123（即题目所求），将后续期望出现1、2各至少一次（3无关）情形记作L12，而1至少一次（2，3无关）情形L1，其余数值符号类推，则树结构如下（列出4级结构已经足够）：

第一级（树根）	第二级	第三级	第四级别
L123	掷1->L23	掷1->L23	同状态
<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	掷2->L3	根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标
<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	掷3->L2	根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标
<wbr></wbr>	掷2->L13	掷1->L3	根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标
<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	掷2->L13	同状态
<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	掷3->L1	根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标
<wbr></wbr>	掷3->L12	掷1->L2	根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标
<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	掷2->L1	根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标
<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	掷3->L12	同状态

接下来，就是要排出方程，因为一共7个未知数，如果排出7个线性方程就能解决问题。

这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。

根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：

L123= p1(L23+ 1) +p2(L13+1) + p3(L12+ 1) = p1L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">23+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">13+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">12+ 1

（以这个L123为例，解释，投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次，于是长度期望是L23+ 1，加1是因为投掷了一次，亦即即增进一级）

L23=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1L23+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2+ 1

L13=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1L3+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">13+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+ 1

L12=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1L2+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">12+ 1

L1=p1+p2L1+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+ 1

（这里实际上是<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1·1 + p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2(L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">1) + p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3(L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">1)=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1+ 1，因为对<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1情形，如果投了1就目的达到终止了）

L2=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline; color:rgb(255,0,0)"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><del><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2+</del>p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1L2+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2+ 1

L3=<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline; color:rgb(255,102,102)"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline; color:rgb(255,0,0)"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><del><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3+</del>p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">1L3+<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3+ 1

（以上一开始没注意，多加了悬空的概率项，故计算有误）

其中p1，p2和<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline"><span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">p<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3分别是掷出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。

于是求解这个方程，得到：

L1= 6，<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">2= 3，<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">3= 2

L12= 7，<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">13= 13/2，<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:22px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:11pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:baseline">L<span style="word-wrap:normal; word-break:normal; line-height:18px; font-family:Arial; color:rgb(0,0,0); font-size:6.6pt; background-color:transparent; font-style:normal; font-variant:normal; text-decoration:none; vertical-align:sub">23= 19/5<del>6</del>

L123=219/30 = 7.3<del>259/36 ~= 7.14</del>

故以上如果没有计算错误，该题结果是，平均掷7.3<del>约7.14</del>次可出现这些面值各至少一次。

（转自：http://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/09/12/coin.html）

问题：

一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3，问平均掷多少次能使1,2,3都至少出现一次？

一共有三种方法可以解此问题：概率公式、分叉树递归列方程法、指示器变量法。

1. 方法一：概率公式

化为概率的表示是：

1发生的概率是1/6, 2发生的概率是2/6, 3发生的概率是3/6，求1,2,3至少出现一次的投掷次数的期望。

思路：

第一二次肯定不可能出现这种情况
第x(x>2)次三个都出现的情况分三种（x^y表示x的y次方）

1：第x次出现1，那么前面出现的必然是2和3，且至少出现一次
出现1的概率为1/6，前面x-1次不出现1的概率为(1-1/6)^(x-1)，但是其中包含全是2和全是3的情况，去掉全2的概率(1/2)^(x-1)，全部为3的概率(1/3)^(x-1)，那么情况1的概率为((1-1/6)^(x-1)-(1/2)^(x-1)-(1/3)^(x-1))*(1/6)

2：第x次出现2，那么前面出现的必然是1和3，且至少出现一次
同样，概率为((1-1/3)^(x-1)-(1/2)^(x-1)-(1/6)^(x-1))*(1/3)

3：第x次出现3，那么前面出现的必然是1和2，且至少出现一次
同样，概率为((1-1/2)^(x-1)-(1/3)^(x-1)-(1/6)^(x-1))*(1/2)

p(x)就为上面三种情况的和

那么，根据期望公式，平均值就等于从x=3到n（无穷）求(x*p(x))的和

利用错位相减法计算极限值

到此可以算出期望为7.3。

2. 方法二：分叉树递归列方程法

方法：面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。

这是一个求数学期望的问题，最终是求1，2，3出现至少一次的最短长度的期望。

第一级（树根）	第二级	第三级	第四级别
L123	掷1->L23	掷1->L23	同状态
		掷2->L3	根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标
		掷3->L2	根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标
	掷2->L13	掷1->L3	根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标
		掷2->L13	同状态
		掷3->L1	根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标
	掷3->L12	掷1->L2	根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标
		掷2->L1	根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标
		掷3->L12	同状态

接下来，就是要排出方程，因为一共7个未知数，如果排出7个线性方程就能解决问题。

这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。

根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：

L123= p1(L23+ 1) +p2(L13+1) + p3(L12+ 1) = p1L23+p2L13+p3L12+ 1

L23=p1L23+p2L3+p3L2+ 1

L13=p1L3+p2L13+p3L1+ 1

L12=p1L2+p2L1+p3L12+ 1

L1=p2L1+p3L1+ 1

（这里实际上是L1=p1·1 + p2(L1+1) + p3(L1+1)=p2L1+p3L1+ 1，因为对L1情形，如果投了1就目的达到终止了）

L2=p1L2+p3L2+ 1

L3=p1L3+p2L3+ 1

其中p1，p2和p3分别是掷出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。

于是求解这个方程，得到：

L1= 6，L2= 3，L3= 2

L12= 7，L13= 13/2，L23= 19/5

L123=219/30 = 7.3

平均掷7.3 次可出现这些面值各至少一次。

3. 方法三：指示器变量法

【另一解法】感谢4楼aaaxingruiaaa同学提供的答案（指示器变量法），整理如下：

定义随机变量Xn，其可能值为0或1，其值为1表示“前n次掷骰子，1，2，3没能都至少出现一次”的事件，其值为0表示这个事件没有发生，即“前n次掷骰子，1，2，3各至少出现一次”。

令pn为“掷n次骰子，1，2，3没能都至少出现一次”的概率，所以显然pn= Pr{Xn=1}，于是pn= 1·Pr{Xn=1} + 0·Pr{Xn=1} = E[Xn]，即这个随机变量的数学期望。

令随机变量X表示1，2，3刚好全部出现过需要的投掷次数。可见题目要求的就是E[X]。

关键等式：X =Sigma(n=0 toInf;Xn) （这里Sigma是求和号，求和范围是n从0到无穷大）

说明一下，等式两边都是随机变量，假设对于某个随机实例（例如，这里指一次具体的投掷序列），其对应事件是：“投了K次恰好1，2，3都出现了”，于是等式左边显然等于K；而等式右边，对于n < K，由于这些项的对应定义事件发生了（即1，2，3没能出现），所以他们的实例值是1，而对于n⩾K，则由于对应定义事件都没发生，实例值为0，可见这个和也是K。故两侧相等。（为了达到这个相等关系，可以看出需要把X0包含在内的必要性）

值得注意的是（但对于解这道题也可以不去注意，但注意一下有利于比较深入地理解），对n < 3，Xn显然恒为1。而对于n⩾3，这些随机变量不是独立的。他们的相关性是不容易求出的，唯一容易知道的是，当序列中一个项为0时，其后的项均为0。好在对于这题我们不需要担忧这个相关性。

由于数学期望的加性与随机变量的相关性无关（这是数学期望一个很令人高兴的性质），所以即便这样，E[X]也能容易求出：

E[X] =Sigma(n=0 to Inf; E[Xn]) =Sigma(n=0 toInf;pn)

pn的比较直观的求法也由aaaxingruiaaa同学提供了，即所谓容斥原理。稍微解释一下，由于pn考虑的是n次投掷三者没有全部出现，于是就是其中两者出现或仅一者出现。假设单次投掷1，2和3出现的概率分别为：r1，r2和r3。于是(r1+r2)n表征n次投掷只出现1或2的概率，这其中包括了出现全1和全2的情形，于是求pn可由这样的项求和并剔除重复计算的单面值情形，于是：

pn= (r1+r2)n+ (r1+r3)n+ (r2+r3)n-r1n-r2n-r3n，当n > 0；而p0= 1 （由定义；同时也可以检验看出，这个pn在n为1和2的时候都是1）

于是由等比级数（等比数列求和）公式：

E[X] =1 + Sigma(n=1 to Inf; (r1+r2)n+ (r1+r3)n+ (r2+r3)n-r1n-r2n-r3n= 1 + (1 -r3) /r3+ (1 -r2) /r2+ (1 -r1) /r1-r1/ (1 -r1) -r2/ (1 -r2) -r3/ (1 -r3) = 7.3

http://blog.csdn.net/quanben/article/details/6918209

假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为Shuo Chen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系：
　　T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T) 解方程可得到 T = 6。

或者根据公式，需要连续抛出n个字的一般情形，结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。

公式证明如下：

方法一：

设出现连续k次正面的期望是a[k]
则出现连续k+1次正面的期望为a[k+1]
在出现连续k次正面后，有下面几种情况：
i)下一个是正面，概率1/2，总次数a[k]+1;
ii)下一个是反面，概率1/2，则接下来平均仍需a[k+1],总次数a[k]+1+a[k+1]。
因此a[k+1]=(a[k]+1)/2+(a[k]+1+a[k+1])/2
整理得(a[k+1]+2)/(a[k]+2)=2
a[n]=(a[1]+2)*2^(n-1)-2
显然a[1]=2;a[n]=2^(n+1)-2

方法二：

转自matrix67 http://www.matrix67.com/blog/archives/3638

设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反。游戏规则很简单，玩家下注 x 元钱，赌正面或者反面；然后庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这 x 元，如果玩家猜对了他将得到 2x 元的回报（也就是净赚 x 元）。
让我们假设每一回合开始之前，都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同。每个玩家最初都只有 1 元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话，从加入游戏开始，庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱；如果连续 n 次硬币都是正面朝上，他将会赢得 2^n 元钱。这个 2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了 2^n 元钱，赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场。让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论。

首先，连续 n 次正面朝上的概率虽然很小，但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时，唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那 n 个人。每个人都只花费了 1 元钱，但他们却赢得了不同数量的钱。其中，最后进来的人赢回了 2 元，倒数第二进来的人赢回了 4 元，倒数第 n 进来的人则赢得了 2^n 元（他就是赌场关闭的原因），他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。其余所有人初始时的 1 元钱都打了水漂，因为没有人挺过了倒数第 n + 1 轮游戏。
另外，由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此赌场的盈亏应该是平衡的。换句话说，有多少钱流出了赌场，就该有多少的钱流进赌场。既然赌场的钱最终被赢走了 2^(n+1) - 2 元，因此赌场的期望收入也就是 2^(n+1) - 2 元。而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金，这就表明游戏者的期望数量是 2^(n+1) - 2 个。换句话说，游戏平均进行了 2^(n+1) - 2 次。再换句话说，平均抛掷 2^(n+1) - 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。

抛硬币 直到连续出现两次字为止

猜你喜欢

抛硬币直到连续出现两次字为止