【ACWing】104. 货仓选址

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/106/

在一个数轴上有$N$家商店，坐标分别是$A_{1\sim N}$，需要在数轴上建立一个仓库，使得所有商店到这个仓库的距离总和最小。问这个仓库应该建在何处，返回最小的距离总和。

输入格式：
第一行输入整数$N$。第二行$N$个整数$A_1\sim A_N$。

输出格式：
输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围：
$1\le N\le 100000$
$0\le A_i\le 40000$

设仓库建在$x$这个位置，令$f(x)=\sum |x-A_i|$，那么 f ′ ( x ) = ∣ { A i : A i < x } ∣ − ∣ { A i : A i > x } ∣ f'(x)=|\{A_i:A_i<x\}|-|\{A_i:A_i>x\}| f′(x)=∣{ Ai​:Ai​<x}∣−∣{ Ai​:Ai​>x}∣，可以看出，当$x$从$-\infty$到$+\infty$变化的时候，$f’$由负到正，所以$f(x)$先降后升，而$f(x)$取最小应当是在$f^{\prime }(x)=0$的时候，即$x$取中位数即可。求中位数可以用快速选择算法，参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113794540。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N];

int quick_select(int l, int r, int idx) {
    
    
    int i = l, j = r;
    int m = a[l + (r - l >> 1)];
    do
    {
    
    
        while (a[i] < m) i++;
        while (a[j] > m) j--;
        if (i <= j) {
    
    
            swap(a[i], a[j]);
            i++;
            j--;
        }
    } while (i <= j);
    
    if (idx <= j) return quick_select(l, j, idx);
    else if (idx >= i) return quick_select(i, r, idx);
    else return a[idx];
}

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    int res = 0;
    int x = quick_select(0, n - 1, n / 2);
    for (int i = 0; i < n; i++) res += abs(a[i] - x);

    cout << res << endl;

    return 0;
}

平均时间复杂度$O(n)$，平均空间$O(\log n)$。