【ACWing】1012. 友好城市

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1014/

Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的$N$个城市。北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

输入格式：
第$1$行，一个整数$N$，表示城市数。第$2$行到第$n+1$行，每行两个整数，中间用$1$个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。

输出格式：
仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。

数据范围：
$1\le N\le 5000$
$0\le x_i\le 10000$

先将友好城市的坐标做成一个pair，即$(a_i,b_i)$，然后将所有的pair按照$a_i$从小到大排序，接下来考虑选多少个pair可以使得边不相交。显然我们需要选当前的pair序列里的$b_i$的上升子序列，这样任意两条边都满足如果$a_i<a_j$则有$b_i<b_j$，这样就不会相交了。所以问题转化为求当前pair序列里的$b_i$的最长上升子序列的长度，可以用动态规划来做。代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 5010;
PII a[N];
int f[N];
int n;

int main() {
    
    
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].first >> a[i].second;

    sort(a + 1, a + n + 1);

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (a[i].second > a[j].second)
                f[i] = max(f[i], 1 + f[j]);

        res = max(res, f[i]);
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(N\log N)$，空间$O(N)$。