【ACWing】1024. 装箱问题

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1026/

有一个箱子容量为$V$，同时有$n$个物品，每个物品有一个体积（正整数）。要求$n$个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入格式：
第一行是一个整数$V$，表示箱子容量。第二行是一个整数$n$，表示物品数。接下来$n$行，每行一个正整数（不超过$10000$），分别表示这$n$个物品的各自体积。

输出格式：
一个整数，表示箱子剩余空间。

数据范围：
$0<V\le 20000$
$0<n\le 30$

这也是个$0-1$背包问题，但问的是能装的最大体积，本质上我们只需要求一下$[0,1,...,V]$这些体积是否存在装载方式即可。思路是动态规划，设bool数组$f[i][j]$是只考虑前$i$个物品的情况下，能否装恰好$j$的体积。那么可以按照物品$i$是否放来分类，有：$$f[i][j]=f[i-1][j]\vee f[i-1][j-v_i]$$$v_i$是第$i$个物品的体积。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 20020, M = 31;
int a[M];
bool f[M][N];
int n;

int main() {
    
    
    int V;
    cin >> V >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    int res = V;
    f[0][0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= V; j++) {
    
    
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= a[i]) 
                f[i][j] |= f[i - 1][j - a[i]];
            if (f[i][j]) res = min(res, V - j);
        }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(nV)$。

可以考虑空间优化，每行从右向左更新：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 20020, M = 31;
int a[M];
bool f[N];
int n;

int main() {
    
    
    int V;
    cin >> V >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    int res = V;
    f[0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = V; j >= a[i]; j--) {
    
    
            f[j] |= f[j - a[i]];
            if (f[j]) res = min(res, V - j);
        }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时间复杂度不变，空间$O(V)$。