【统计学笔记】第八章 假设检验

各种统计量检验的决策准则
各种假设检验的假设的建立

第八章 假设检验

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参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分。

• 假设检验：先对总体参数$\mu$的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。
  • 采用逻辑上的反证法
  • 依据统计上的小概率原理

8.1 假设检验的基本问题

8.1.1 假设问题的提出

8.1.2 假设的表达式

原假设（$H_0$）：

• 待检验的假设
• 总是有等号$=$， $\le$ 或 $\ge$
• 因为总是用下标0表示，故又称“0假设”
• 一般表示为 $\mu 符号某个数值$

备择假设（$H_1$）：

• 与原假设对立的假设
• 总是有不等号: $\ne$，$<$ 或 $>$
• 一般表示为 $\mu 符号某个数值$

8.1.3 两类错误

• $\alpha$错误（第Ⅰ类错误，弃真错误）：原假设$H_0$为真，却被我们拒绝了，犯这种错误的概率为$\alpha$；
• $\beta$错误（第Ⅱ类错误，取伪错误）：原假设$H_0$为假，我们却没有拒绝，犯这种错误的概率为$\beta$；

假设检验中各种可能结果的概率：

item	没有拒绝$H_0$	拒绝$H_0$
电脑	1 - $\alpha$（正确决策）	$\alpha$（弃真错误）
手机	$\beta$（取伪错误）	$1-\beta$（正确决策）

不能同时减小$\alpha$错误和$\beta$错误，$\alpha$大$\beta$就小，$\alpha$小$\beta$就大

8.1.4 假设检验的流程

• (1) 提出原假设和备择假设
  $$\begin{gathered} H_0:\mu =3190(克) \\ {H}_1:\mu \ne 3190(克) \end{gathered}$$
• (2) 确定适当的检验统计量
  • 选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑:
    • 是大样本还是小样本；
    • 总体方差已知还是未知；
  • 检验统计量的基本形式为：
    $$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$
• (3) 规定显著性水平α
  • 是原假设为真时，拒绝原假设的概率；
  • 表示为$\alpha$，常用的$\alpha$ 值有$0.01,0.05,0.10$，由研究者事先确定，被称为抽样分布的拒绝域；
• (4) 计算检验统计量的值
• (5) 作出统计决策
  $$\begin{gathered} 若|z|<|z_{\alpha /2}|，不拒绝H_0； \\ 若|z|>|z_{\alpha /2}|，拒绝H_0； \end{gathered}$$

8.1.5 用$P$值进行决策

• $P$值：当原假设为真时，所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率；
• 如果$P$值很小，而这种情况又出现了，就有理由拒绝原假设；
• 将$P$与显著性水平比较，如果$P＜\alpha$，则拒绝原假设；

8.1.6 单侧检验

• 双侧检验（不知道为什么没有这个标题）：

  • 原假设命题为$\mu ={\mu }_0$的形式；
  • 有两个拒绝域、两个临界值；
  • 只要有$\mu <{\mu }_0$或者$\mu >{\mu }_0$二者之一成立就可以拒绝原假设；

• 左单侧检验

  • 原假设命题为 $\mu \ge {\mu }_0$的形式；
  • 关注的是可以容忍的下限，当$\mu$低于什么水平时就拒绝；
  • 希望数值越大越好
    

• 右单侧检验

  • 原假设命题为 $\mu \le {\mu }_0$的形式；
  • 关注的是可以容忍的上限，当$\mu$高于什么水平时就拒绝；
  • 希望数值越小越好
    

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8.2 一个总体参数的检验

8.2.1 检验统计量的确定

$$\begin{gathered} t统计量的自由度为n-1 \\ z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}（总体标准差\sigma 已知） \\ t=z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}（总体标准差\sigma 未知） \end{gathered}$$

• 当样本量大（$n>30$），无论是否是正态分布都可以用 $z$ 统计量。（当然，随着样本量 $n$ 的增大 $t$ 分布逐渐接近 $z$ 分布，也可以使用$t$统计量，这根据使用者的偏好。）
• 当样本量小（$n<30$），总体标准差$\sigma$已知时就可以用 $z$ 统计量，未知时就必须用 $t$ 统计量。
  

8.2.2 总体均值的检验

例题1：

本题是双侧检验

• (1) 提出原假设和备择假设
  $$\begin{gathered} H_0:\mu =0.081mm没有显著差别 \\ {H}_1:\mu \ne 0.081mm有显著差别 \end{gathered}$$
• (2) 确定适当的检验统计量
  • 200个零件 $\Rightarrow$ 大于30，是大样本
  • 样本标准差$s=0.025$ $\Rightarrow$ 总体标准差$\sigma$未知
  • 故使用z统计量：
    $$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$
• (3) 规定显著性水平α
  $$规定\alpha =0.05，所以z_{\alpha /2}=1.96$$
• (4) 计算检验统计量的值
  $$\begin{gathered} \overline{x}=0.076，{\mu }_0=0.081，s=0.025，n=200 \\ z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{0.076-0.081}{0.025/\sqrt{200}}=-2.83 \end{gathered}$$
• (5) 作出统计决策
  $$\begin{gathered} |z|=2.83>1.96=|z_{\alpha /2}| \\ 所以根据决策准则，拒绝H_0，可以认为有显著差别。 \end{gathered}$$

例题2：

本题是双侧检验

• (1) 提出原假设和备择假设
  $$\begin{gathered} H_0:\mu =5性能良好 \\ {H}_1:\mu \ne 5性能不好 \end{gathered}$$
• (2) 确定适当的检验统计量
  • 10个肥皂 $\Rightarrow$ 小于30，是小样本
  • 样本标准差$s=0.3$ $\Rightarrow$ $\sigma$未知
  • 故使用t统计量：
    $$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$
• (3) 规定显著性水平α
  $$规定\alpha =0.05，所以z_{\alpha /2}=1.96$$
• (4) 计算检验统计量的值
  $$\begin{gathered} \overline{x}=5.3，{\mu }_0=5，s=0.3，n=10 \\ t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{5.3-5}{0.3/\sqrt{10}}=3.16 \end{gathered}$$
• (5) 作出统计决策
• $t$ 统计量的自由度为$9：n-1=10-1=9$
  $$\begin{gathered} |t|=3.16>2.2622=|t_{\alpha /2}(9)| \\ 所以根据决策准则，拒绝H_0，可以认为机器性能不好。 \end{gathered}$$

8.2.3 总体比例的检验

一般的总体比例的调查都会使用大样本量，因为比例这个东西样本量大了才有意义，所以不用就是是大样本还是小样本，就只有大样本

• z统计量为：
  $$\begin{gathered} z=\frac{p-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}} \\ p为样本比例，{\pi }_0为总体比例\pi 的假设值 \end{gathered}$$
  例题：
  
• (1) 提出原假设和备择假设
  $$\begin{gathered} H_0:\pi =14.7\%支持 \\ {H}_1:\pi \ne 14.7\%不支持 \end{gathered}$$
• (2) 确定适当的检验统计量
  • 400名居民 $\Rightarrow$ 大于30，是大样本
  • 故使用z统计量：
    $$z=\frac{p-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}}$$
• (3) 规定显著性水平α
  $$规定\alpha =0.05，所以z_{\alpha /2}=1.96$$
• (4) 计算检验统计量的值
  $$\begin{gathered} p=\frac{57}{400}=0.1424，{\pi }_0=0.147，n=400 \\ z=\frac{p-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}}=-0.254 \end{gathered}$$
• (5) 作出统计决策
  $$\begin{gathered} |z|=0.254<1.96=|z_{\alpha /2}| \\ 所以根据决策准则，不能拒绝H_0，支持。 \end{gathered}$$

8.2.4 总体方差的检验

• ${\chi }^2$统计量为（通常采用单侧检验）：
  $${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

例题：

• (1) 提出原假设和备择假设
  $$\begin{gathered} H_0:{\sigma }^2\le 1达到要求 \\ {H}_1:{\sigma }^2>1未达到要求 \end{gathered}$$
• (2) 确定适当的检验统计量
  • 因为是检验方差，所以使用${\chi }^2$统计量
    $${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}$$
• (3) 规定显著性水平α
  $$规定\alpha =0.05$$
• (4) 计算检验统计量的值
  $$\begin{gathered} s=0.866，\sigma =1，自由度n-1=24，n=25 \\ {\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}=\frac{(25-1)0.866}{1}=20.8 \end{gathered}$$
• (5) 作出统计决策
  $$\begin{gathered} {\chi }^2=20.8<36.415=|{\chi }_{0.05}^2(24) \\ 所以根据决策准则，不能拒绝H_0，达到要求。 \end{gathered}$$

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8.3 两个总体参数的检验

8.3.1 检验统计量的确定

8.3.2 两个总体均值之差的检验

1. 总体标准差已知：
   
2. 总体标准差未知：
   
   

8.3.3 两个总体比例之差的检验

• 两个总体是独立的
• 两个总体都服从二项分布
• 可以用正态分布来近似

1. 检验两个总体比例相等的假设：
   $$\begin{gathered} p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}=\frac{p_1{n}_1+p_2{n}_2}{n_1+n_2} \\ z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_1}+\frac{p(1-p)}{n_2}}} \end{gathered}$$
2. 检验两个总体比例之差不为零的假设：
   

8.3.4 两个总体方差比的检验

$F$统计量：
$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-2)$$

• 检验两个方差比是否相等（在双侧检验中）：
  将较大的$s^2$放到分子$s_1^2$上
  $$如果F_{1-\alpha /2}\le \frac{s_1^2}{s_2^2}\le F_{\alpha /2}就接受原假设，否则就落入拒绝域从而拒绝原假设；$$
• 检验两个方差比的大小（在单侧检验中）：
  $$如果\frac{s_1^2}{s_2^2}\le F_{\alpha }就接受原假设，否则就落入拒绝域从而拒绝原假设$$
  

8.3.5 检验中的匹配样本

我觉得不会考所以就不写了

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8.4 检验问题的进一步说明

8.4.1 关于检验结果的解释

8.4.2 单侧检验中假设的建立

详见：各种假设检验的假设的建立