【统计学笔记】各种假设检验的假设的建立和各统计量公式总结

8.4 假设问题的进一步说明

例如当问到是否购入某批灯泡（根据其寿命）：：
$$\begin{gathered} H_0:\mu \ge 1000hour认为该厂生产的灯泡【不会低于】规定的质量标准1000小时 \\ 和 \\ {H}_0:\mu \le 1000hour认为该厂生产的灯泡【可能低于】规定的质量标准1000小时 \end{gathered}$$
同一个问题，有两种假设，而这两种假设会导致出现不同的结果，那么究竟该如何确定原假设$H_0$和备择假设$H_1$呢。下面给出了很好的解释：

• 在假设检验中一般是把希望证明的命题放在备择假设$H_1$上；而把原有的、传统的观点或结论放在原假设$H_0$上。
  • 所谓“原有的、传统的”是指原有的理论、原有的看法、原有的状况，或者说是那些历史的、经验的、被大多数人认可和接受的东西，在没有充分证据证明其错误时，总是假定是正确的，处于原假设$H_0$被保护的位置。
  • 而那些新的、可能的 、猜测的东西，希望用事实推翻原假设，得到船新的观点，处在备择假设$H_1$的位置。
• 接受备择假设$H_1$一定意味着原假设$H_0$错误；而没有拒绝原假设$H_0$并不能表明备择假设$H_1$一定是错的。

---

提出各类假设的例子：

很多假设检验类型既有单侧检验又有双侧检验，这里只是给出如何建立假设的统计量和统计值的符号，而对于是大于小于还是等于就不具体都一一举例了（例如 $H_0:\mu =1000和H_0:\mu \ge 0.81$ 这两种形式）。

第八章 假设检验

• 一个总体参数的检验
  • 总体均值的检验（z或t检验）
    
    • 双侧检验
      $$\begin{gathered} H_0:\mu ={\mu }_0没有显著差别 \\ {H}_1:\mu \ne {\mu }_0有显著差别 \end{gathered}$$
    • 左单侧检验
      $$\begin{gathered} H_0:\mu \ge {\mu }_0没有显著差别 \\ {H}_1:\mu <{\mu }_0有显著差别 \end{gathered}$$
    • 右单侧检验
      $$\begin{gathered} H_0:\mu \le {\mu }_0没有显著差别 \\ {H}_1:\mu >{\mu }_0有显著差别 \end{gathered}$$
  • 总体比例的检验（z或t检验）
    
    $$\begin{gathered} H_0:\pi ={\pi }_0支持该比例 \\ {H}_1:\pi \ne {\pi }_0不支持该比例 \end{gathered}$$
  • 总体方差的检验（${\chi }^2$检验）
    
    $$\begin{gathered} H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2在误差以内 \\ {H}_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2在误差以外 \end{gathered}$$
• 两个总体参数的检验
  • 两个总体均值之差的检验（z或t检验）
    • 总体标准差已知：
      
    • 总体标准差未知：
      • 方差相等：
        
      • 方差不相等：
        
        $$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0 \\ {H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne 0 \end{gathered}$$
  • 两个总体比例之差的检验（z检验）
    • 检验两个总体比例相等：
      
      $$\begin{gathered} H_0:{\pi }_1-{\pi }_2=0 \\ {H}_1:{\pi }_1-{\pi }_2\ne 0 \end{gathered}$$
    • 检验两个总体比例之差不为零：
      
      $$\begin{gathered} H_0:{\pi }_1-{\pi }_2\ge 10\% \\ {H}_1:{\pi }_1-{\pi }_2<10\% \end{gathered}$$
  • 两个总体方差比的检验 （F检验）
    
    $$\begin{gathered} H_0:{\sigma }_1/{\sigma }_2=1 \\ {H}_1:{\sigma }_1/{\sigma }_2\ne 1 \end{gathered}$$

---

第九章 分类数据分析

• 拟合优度检验（${\chi }^2$检验）
  
  $$\begin{gathered} H_0:观察频数和期望频数一致 \\ {H}_1:观察频数和期望频数不一致 \end{gathered}$$
• 独立性检验（${\chi }^2$检验）
  
  $$\begin{gathered} H_0:行变量和列变量相互独立 \\ {H}_1:行变量和列变量不相互独立 \end{gathered}$$

---

第十章 方差分析

• 单因素方差分析（F检验）
  
  在方差分析中，原假设所描述的是在按照自变量的取值分成的类中，因变量的均值是否相等。因此，检验k个水平（总体）的均值是否相等，需要提出如下形式的假设（得到的结果一般都是拒绝原假设，从而有显著影响）：
  $$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1={\mu }_2=...={\mu }_k自变量对因变量没有显著影响 \\ {H}_1:{\mu }_{(}i=1,2,...,k)不全相等自变量对因变量有显著影响 \end{gathered}$$
• 双因素方差分析 （F检验）
  
  有无交互作用的都假设的提出都是类似的。
  
  为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出假设（k为行因素的水平个数，r为列因素水平个数）：
  • 对行因素提出的假设为：
    $$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1={\mu }_2=...={\mu }_k自变量（行变量）对因变量没有显著影响 \\ {H}_1:{\mu }_{(}i=1,2,...,k)不全相等自变量（行变量）对因变量有显著影响 \end{gathered}$$
  • 对列因素提出的假设为：
    $$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1={\mu }_2=...={\mu }_r自变量（列变量）对因变量没有显著影响 \\ {H}_1:{\mu }_{(}i=1,2,...,r)不全相等自变量（列变量）对因变量有显著影响 \end{gathered}$$

---

第十一章 一元线性回归

• 相关关系的显著性检验（t检验）
  
  $$\begin{gathered} H_0:\rho =0两个变量之间不存在显著的线性关系 \\ {H}_1:\rho \ne 0两个变量之间存在显著的线性关系 \end{gathered}$$
• 线性关系的显著性检验（F检验）
  
  $$\begin{gathered} H_0:{\beta }_1=0两个变量之间不存在显著的线性关系 \\ {H}_1:{\beta }_1\ne 0两个变量之间存在显著的线性关系 \end{gathered}$$
• 回归系数的显著性检验（t检验或F检验）
  
  $$\begin{gathered} H_0:{\beta }_1=0没有证据表明自变量x对因变量y影响显著 \\ {H}_1:{\beta }_1\ne 0表明自变量x对因变量y影响显著 \end{gathered}$$

第十二章 多元线性回归

• 线性关系的显著性检验（F检验）
  
  $$\begin{gathered} H_0:{\beta }_1={\beta }_2=...={\beta }_k=0y与k个自变量之间不存在显著的线性关系 \\ {H}_1:{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_k至少一个不等于0y与k个自变量之间存在显著的线性关系 \end{gathered}$$
• 回归系数的显著性检验（t检验）
  

$$\begin{gathered} 对任意{\beta }_i(i=1\sim k)有： \\ {H}_0:{\beta }_i=0y与第i个自变量x_i不存在显著的线性关系 \\ {H}_1:{\beta }_i\ne 0y与第i个自变量x_i存在显著的线性关系 \end{gathered}$$