欧几里德关系的S5—刘易斯逻辑之十一
刘易斯严格蕴涵系统的结构是由S1-S5五个系统构成:，前述数篇已经讨论过S1-S4，这一篇轮到刘易斯结构中的最后一个构件：S5。
依据C.E.Hughes的说法，模态逻辑系统的命名传统来自C.I.刘易斯，他的S1-S5成为给模态系统命名的一个样板。刘易斯这五个系统，不仅是此后模态命名的标准，这五个系统的出现，还引发逻辑学家对于模态的持续关注。从模态证明延展到模态语义，对模态语义的研究，最初产生了代数语义学。但很快，模态语义学的研究，很快就从代数语义学，走向关系语义学。
关系语义学对于模态的语义分析，让C.I.刘易斯的五个严格蕴涵系统，随之就有了正规模态和非正规模态之分。其中的S1-S3，是非正规模态逻辑，而其中的S4-S5，则是正规模态逻辑。上篇有关S4的简述指明，S4是具有传递性关系的正规模态，那么眼下的S5会是一个何种关系的正规模态呢？
一、C.I.刘易斯的S5
C.I.刘易斯为S1-S3，给出了二套公理集合A和B。但由这两套公理集合来构成的3个系统，对于带有模态函项◇的基本公式来说，依然有一些无法判定的性质。德国逻辑学家奥斯卡.贝克（Oskar.Becker1889-1964），一个直觉主义的逻辑学家，建议使用带有模态函项的公理来判定这些模态的性质，刘易斯拿来贝克的这四个公理：C10-C13，继续构造他的严格蕴涵系统，那就是S4-S5。这里再次给出贝克的四个公理，分别如下所述：
C10. ∼◇∼p==>∼◇∼∼◇∼p 或者∼◇∼∼◇∼p∼◇∼p
C11. ◇p>∼◇∼◇p 或者◇p∼◇∼◇p
C12. p>∼◇∼◇p
C13. ◇◇p
贝克照片
但C.I.刘易斯似乎只用到其中的C10和C11，系统S4，特征公理就是C10。本篇描述的S5，C.I.刘易斯最后一个严格蕴涵系统，它除了有公理集合B1-7之外，特征公理则是C11。也许因为贝克是一个布劳威尔直觉主义的逻辑学家，C.I.刘易斯也就顺便带上C12，著名的布劳威尔公理。而公理C13，和C.I.刘易斯的S1—S3是相容的，或者说是一致的。这反映出刘易斯S1-S3的一个特殊性质，这个性质可以表述为：任意的命题都是可能的。
C,I.刘易斯要引介出这个C13公理，这就十分自然，因为它反映出的，正是S1-S3的某个特殊性质。
什么样的特殊性质呢？我们来看C13的直观语义。
这个C13的直观语义，如同C.E.Hughes在其《模态逻辑新引论》一书中所言，我用C13替换Hughes文中的◇◇p：
另一方面，和S2-S3相关的特性是，它们不含有C13，但是却与C13是相容的。这意味着这两个系统相容于这个观念：每一个命题都是“可能可能的”。这也暗含着，在S2和S3模型中的一个关键性观念，也许存在某些世界，在这类世界中，任意一个命题，完全没有例外，都是可能的，甚至像p∧∼p这样的自相矛盾命题，也是可能的。
（C.I.Hughes and M.J.Cresswell《模态逻辑新引论》英文版第201页）
这类世界其实就是后来被美国学者克里普克命名的非正规世界，在这样的世界，连自相矛盾这样的陈述，也是可以接受的。这让人联想到时下时髦的一个口号：
“没有不可能！”
换一个等价表达式就成为：
“一切皆可能！”
图片：一切皆可能
真有这样的世界吗？当世界整个地陷于疯狂和魔幻，真还可能是：“一切皆可能”。
好在还有正规世界，S4是一个正规世界的模态系统，C.I.刘易斯继续构造而成的S5，也是一个正规世界的模态系统，它们都和以上提到的C13不相容。
我们再来熟悉一下S4，特别是S5所具有的特征公理：
C10. ∼◇∼p==>∼◇∼∼◇∼p
C11. ◇p==>∼◇∼◇p
因为 □p=∼◇∼p，这个C10和C11. 作为特征公理，就可以表述为：
C10. □p==>□□p
C11. ◇p==>□◇p
用自然语言来解读，C11可以表述为：
“可能p严格蕴涵着必然可能p”。
如果C11和公理C10要来一个直观对比，C10可以表述为：
“必然p严格蕴涵着必然必然p”。
在模态逻辑中，怎么会有这么不合自然语言常规的模态表达式呢？这真是一个不大好回答的问题，一类不让人省心的模态困惑。也许，逻辑学家们对于S5的评论，会对我们理解这类天书般的表达式有点帮助。
二、如何看待S5的特征公理◇p==>□◇p？
如同前述系统的扩张那样，S5是S4的扩张，它含有所有S4的定理。S5的逻辑意义，C.I.刘易斯做了这样的论述：
系统S5把系统中所有的命题，分成了互为排斥的两个类型：一个类型是内涵的类型或者模态的类型，一个类型是外延的或者偶然的类型。依据这个系统的法则，所有内涵的或者模态的命题或者必然真，或者必然假。结果就成为，对于任意模态命题—这些模态命题就可以表示为pm——
◇（pm）=（pm）=∼◇∼（pm），并且
◇∼（pm）=∼（pm）=∼◇（pm）
然而，对于外延的或者偶然的命题，可能性，真，和必然性保留得很清晰。
（C.I.刘易斯《符号逻辑》英文版第501页）
C.I.刘易斯对模态命题的这种划分，似乎就包含了叠置模态的可能。依据经典逻辑的替换法则，任意模态命题可以用前后一致的任意命题来替换，刘易斯给出的这两行表达式，自然也可以经过替换后成为以上符号串的等价命题。
◇(◇(pm))=◇(pm)=∼◇∼(◇（pm))，(以◇(pm)替换(pm))
◇(∼◇(pm))= ∼◇(pm)=∼◇◇(pm))，（以◇(pm)替换(pm））
从这个意义上讲，叠置模态是模态合式公式形成规则的自然体现。它们在自然语言上的意义，因为模态语言本身的特性，而显得不是那么特别值得推敲了。
C.I.刘易斯构建严格蕴涵系统的最初意图，也许是为逻辑推理提供不同于经典逻辑的另一种途径。但系统建构到S5这个关口，似乎偏移了C.I.刘易斯的本意，让他自己也困惑起来。所以，他在《符号逻辑》附录的最后一段文字中，也是全书的最后一段，生发了一段感叹。我感觉这既是刘易斯的学问之叹，也是他的人生之叹。
本来想通向一条逻辑推理之路，没想到，严格蕴涵系统所关注的推演法则，究竟是不是可接受的推演法则？依然还是一个疑惑。
在逻辑推理上那些流行的好方法——例如在数学演绎推理中的实践，并不是充分地精确，也没有自我意识到：在给定的这五个系统S1-S5中，哪一个表达了可接受的推演法则。（这里的可接受含义在第八章中有讨论）主要涉及到蕴涵关系本质的这些议题，（这里的蕴涵关系是指，依赖于推理的那些关系）也涉及到某些有关必然、可能或者自我一致意义的微妙问题——例如公设C10是真还是假（贝克教授对这类问题做过详细地讨论，在以上提及的那些论文中）。那些有兴趣于符号逻辑这类系统的数学性质的读者，也许宁愿要更具全面性但更少“严格性“的系统，例如S5和实质蕴涵。逻辑研究的兴趣将很可能通过一个精确的，恰好对立的倾向，来提供最好的服务。
（C.I.刘易斯《符号逻辑》英文版第501-502页）
也许，C.I.刘易斯所讲的这个对立但更精确的倾向，就是模态的关系语义学倾向。
三、刘易斯的S1-S5系统导引了蕴涵观念研究的两个方向：语义学与相干理论
S4-S5的出现，正规模态开始有了基于经典逻辑的模态语义学，这就是成熟于上世纪50年代的克里普克语义学，或称可能世界语义学。我相信康宏逵先生的感觉，模态逻辑关系语义学的早期形态冠以克里普克语义学并不公正，但这个称号的语义学依然有足够的生命力（参见杜姗姗等著《临界的传递逻辑》第8页）。
S4因其特征公理而被称之为传递逻辑，这个公理表达的就是可能世界间的传递关系。本篇讨论的S5，其特征公理为C11，这个C11表征的是个什么关系呢？S5特征公理对应的是欧性关系。
S4特征公理对应的传递性比较好理解，算术中的数字相等，这个等号就有传递性。算术中的大于、小于关系，也有传递性。传统逻辑三段论，有一个关于类与类关系的曲全公理，其实表达的就是传递性。
S5特征公理所对应的关系，就不像S4那么普通了，这个特征公理对应的关系称作欧性关系，全称应该是欧几里德关系（Euclid relation）。
S5的C11也是模态叠置，模态叠置虽是模态句法规则的自然体现，也没有什么自然语言理解的符号直观，但模态关系语义学为解决这模态叠置之惑，打造了一把好锁匙。这把锁匙就是模态的对应理论，如范本特姆所言：
三大理论支撑着模态逻辑大厦，其中有遍布各处的完全性理论，还有当前的对应理论。
（转引自拙著《必然蕴涵世界和关系》第196页）
这个对应理论的中心思想，就是把一个模态公式的意义，归结为使该公式有效的那些框架中的关系所具有的特殊性质。而关系语义学的第一个关键概念，那就是框架（Frame）。
一个框架由两个类型构成，一个类型是可能世界（或者点，或者状态等），常用大写字母W表示，另一个类型就是关系，用R表示。框架的符号表达式如下：
F=(W,R)
除了框架之外，另一个关系语义学的关键概念是可通达（accessible）。以框架F为例，其中的W是无数单个世界的集成，R是无数单个关系的集成。
有了这个框架F概念，关系R，就体现在W上的任意两个点之间是如何可通达的。
欧性关系由此而被定义为：
若W上面有三个世界w，u，和v。从w可以通达u，这表示为wRu。也可以从w通达v，这表示为wRv，而且，还可以从v通达u。
满足这三个条件的关系，就是欧性关系。关系语义学已经发展成为可以使用图形来加以描述的学科，因此，这样一种关系也可以用有向的线条来表达：
欧性关系表示图
依据C.E.Hughes的记载，把欧性关系的特征公理记为E公理，首次出现于Lemmon和Scott1977年的著作《Lemmon 笔记：模态逻辑导论》一书中，这个公理对应于一个条件，这个条件，作者称其为欧性条件（euclidian condition）。这时，离C.I.刘易斯的S5，已经近半个世纪了。
S5出现之后的半个世纪，除了以上提到的关系语义学，还有代数语义学，拓扑语义学等等，模态逻辑还有很多故事可讲。但C.I.刘易斯的S5，只能暂且到此了。本篇的最后一点文字，留给C.I.刘易斯严格蕴涵研究导致的另一个方向。这个方向，是关注蕴涵中的可以推出关系而导致的。C.I.刘易斯一直都希望，把他的严格蕴涵p==>q解释为命题q可以逻辑地从p推出，或者解释为从p推演为q，是逻辑上有效的。
这个“从p逻辑地推出q”的基本含义，其实就是C.I.刘易斯之前的英国哲学家摩尔Moore给出的“衍推”概念（entailment）所包含的意义。沿着这个方向的研究，形成的一类逻辑，后来称为“相干逻辑”（relevance logic）。这个逻辑经过几十年的研究，也同样有着巨大丰富的资料文献。
有趣的是，我的两个学生，一个学生做的是刘易斯的严格蕴涵系统，那自然是刘易斯的东西。另一个学生做的却是“相干逻辑”，那时候，我一点都不知道，这相干逻辑也和刘易斯的严格蕴涵相关，而且在很大程度上应该是当代相干逻辑研究的一个源头。
个人对于自己生命进程的回忆，自然要包括物质生活和精神生活。这精神生活的一个要点，就是对于自己学术进程的反思。这个反思还真是有趣，你会填补一些你原来未知的，你也会发现，你原来有很多很多的无知。