刘易斯的S3 严格蕴涵和公理 刘易斯逻辑之九
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现在轮到S3了。几年前写过二本有关“必然”与“模态”的书，那是为课题而劳作。从那个时段起，就对模态逻辑的早期历史文献，C.I.刘易斯严格蕴涵系统的S1-S5很是关注。
当时就很奇怪，这个刘易斯的S1-S5，它怎么不是按照时间顺序依次产生？而是先出现S3，然后才有S1和S2呢？人们认识事物或者观念的常规，难道说，还拗得过时序的规条与限制？
这个世界的大部分存在物，的确是拗不过时空之限。时间这个恒定的单向性线条，复制在人生的时段上，那就是一条从摇篮到天堂的不归路。然后，生命的基因传递，再把这永不回归的单向线段接续起来，构成一条很为类似永恒单向的生命链条。
仅就这个生命链条而言，也许真会有一个尽头。但这个尽头之说，谁能说就是真理呢？如果一个有名的现代格言：基因是永恒的，这个格言是十分可信的话，那生命链条永恒，不就是一个顺理成章的结论么？
况且，那永恒的生命链条，并不是表现为生命的肉身，而是表现为生命的灵魂。生命的肉身，可以随时间的流逝而不复存在。生命的灵魂，则如同18世纪的德国大作家歌德《浮士德》中的智者浮士德一样，当魔鬼梅菲斯特埋葬浮士德的肉身，它的肉身随风飘去的时候，浮士德的灵魂却自由自为、留存人间。灵魂在这个意义上，大概就表现为，它是人类智者为这个世界创建的各种各样神奇奥妙，且有永恒性质的观念。
有形存在物拗不过时空的限制，但无形超越有形，观念超越实在。观念可以穿越时空，既可以超前，也可以后移。人类观念在时空序列中的运行真可谓，前可追无限，后也可追无限矣。
这大概就基本说明了这个S系统时序颠倒的来由，真理性的观念是超越时空的特别存在。我们追索一门学科的历史陈迹，常常就会产生飘渺无常、杂然流形之感，感觉到这种超越时空的观念恰如同上帝一般地神秘存在。
那么S3给了我们一些什么观念呢，我们还是闲话少说言归正传吧。
一、S1-S3的两个图表
1、符号说明
这个S3，在C.I.刘易斯1918年出版的《符号逻辑概览》中发表，早于S1，S2近15年之久。它的公理（本文公设与公理不做区分，一般用词为公理）集合是A1-A8，含有所有包括在S2之中的定理，自然也包括S1中所有的定理。如果这个S3也和S2一样，加进那个存在公理B9，还含有所有S2中的存在定理。此外，他还在评述他的系统时，在初始观念、导出规则以及系统公设之后，先弄出两类关系，实质关系和严格关系，这更增加其初期系统的复杂。
这么多的内容，当然不可能面面俱到。本篇将主要评述S3在公理指派上与前两个系统之间的差异，先列出S1和S2系统的公理比较表格。
列出图表之前，需要先做一点符号说明。1918年版《符号逻辑概览》中的严格蕴涵系统，钻石形的可能符号◇还没有启用。而且刘易斯的初始观念不是“可能”而是“不可能”，他用一个我们今天常用来表达否定的符号∼，来表示他的“不可能”，好像这个“不可能”不是指的模态，而是一个强度不同的否定符号似的。
刘易斯又引入一个“一致性”观念，用符号小圆圈〇表示一致。初期版的严格蕴涵系统，符号使用有点让人眼花缭乱。我把S3所使用逻辑符号统一做了更动，除严格蕴涵符号写为==>之外，其它符号都按当前模态通用符号表示。
2、两个公理比较图表。
图表1：S1和S2公理对照表
| S2公理 |
公理特性 |
|
| B1 (p∧q)==>(q∧p) |
B1=A1 |
合取交换律 |
| B2 (p∧q)==>p |
B2=A2 (q∧p)==>p |
合取分离律 |
| B3 p==>(p∧p) |
B3=A3 |
合取叠加律 |
| B4 ((p∧(q∧r))==>q∧(p∧r) |
B4=A4 |
合取结合律 |
| B5 p==>∼(∼p) |
B5=A5 |
双否律 |
| B6 ((p==>q)∧(q==>r))==>(p==>r) |
B6=A6 |
传递律 |
| B7 ((p∧(p==>q))==>q |
B7 |
肯定前件式 |
|
|
B8 ◇(p∧q)==> ◇p |
一致性公理 |
| B9 (∃p,q)(( ∼p==> q) ∧(∼(p==>∼q))：S2,S3可用的存在公理，∃为存在或特称量词。 |
||
从上图可以看到，S1和S2在公理上的差异，A2与B2之间稍有一点不同，但这个差异可以忽略，权当全等。主要差异是S2的公理比S1的公理，多了一个一致性公设B8。
那么S3呢？我单独列一张图表2来和前面图表1作对比。存在公理B9涉及到量词，那是模态谓词逻辑讨论的范围，表2暂且不列，自然也就暂且忽略对于B9的评论。
图表2：S1，S2与S3的公理比较
| S3公理（A1-A8） |
S1与S2公理对照 |
公理特性 |
| A1 (p∧q)==>(q∧p) |
A1=B1 |
合取交换律 |
| A2 (q∧p)==>p |
A2=B2 |
合取分离律 |
| A3 p==>(p∧p) |
A3=B3 |
合取叠加律 |
| A4 ((p∧(q∧r))==>q∧(p∧r) |
A4=B4 |
合取结合律 |
| A5 p==>∼(∼p) |
A5=B5 |
双否律 |
| A6 ((p==>q)∧(q==>r))==>(p==>r) |
A6=B6 |
传递律 |
| A7 ∼◇p==>∼p |
B7 ((p∧(p==>q))==>q *B1-B7是S1公理 |
A7不可能公理1 B7肯定前件式 |
| A8: (p==>q)==>( ∼◇q==> ∼◇p) A8* :(p==>q)==>( □p==> □p) |
B8 ◇(p∧q)==> ◇p *B1-B8是S2公理 |
A8:不可能公理2 B8:一致性公理 |
这两个图表的对比中，可以窥见S3的基本面貌，模态逻辑萌生而成的基本轨迹也好像隐藏在这两张图表之中。可以看到，S3和S2的公理差异，也是在S1基础上，增加了一个公理而已。S2和S1的差异，不也是增加一个公理么？模态系统的构建，好像在这里显现出某种常规的创建模式。
二、不同于实质蕴涵的严格蕴涵和基础性六公理
1、引入新的蕴涵观念：严格蕴涵
实质蕴涵关系是现代命题逻辑构建的基础，几乎没有例外。这个蕴涵关系源于古希腊斯多葛学派的菲洛蕴涵，后在布尔代数那里得到发展。布尔发现，这个蕴涵可以用到某种类与类之间的关系之中，但没有找到很合适的表示方法。美国的皮尔斯完善了布尔的想法，他引入了一个新符号，那就是今天广泛使用的类与类包含的符号“包含于”⊂
。皮尔斯的高妙之处，是把这个符号，从类之间关系移用到命题之间关系，从而就构成了今天的实质蕴涵，通常用符号→来表示这种蕴涵关系。
这个蕴涵关系，在现代逻辑学家那里，似乎从未停止过争论。英国人麦克考尔在和罗素多年的争论中，一直都认为实质蕴涵有点问题，他提议用一种有内涵意味的蕴涵“严格蕴涵”来取代这种实质蕴涵。但麦克考尔的提议，没有系统的符号逻辑来予以支撑。这个讨论引起C.I.刘易斯的关注，他把这个严格蕴涵引入到他的系统，并使用公理化的方法来建构，这就是严格蕴涵系统。C.I.刘易斯的这个组合式创新，使得一门新逻辑从想象变成为可能。现代逻辑从外延逻辑的层面，可以说第一次涉及到符号对象的内涵。
这个逻辑就是模态逻辑，除了这个新引入的严格蕴涵观念，以及相关于严格蕴涵的其它观念，还有构建这个系统的六个基础性公理。
2、基础性公理A1(B1)-A6(B6)
从两个图表中，可以很清楚地看到，A1-A6=B1-B6，A系列和B系列的前六个公理几乎完全相同。初创时期模态逻辑的这六个基本公理，很容易探查它们的根源。
算术是是现代逻辑产生的一个源头。图表中一部分公理，即来自于算术理论中，加法和乘法运算的交换律和结合律（A1=B1和A4=B4）。
而布尔代数则是现代逻辑的起点，自布尔把数学引入逻辑之后，布尔代数就有了合取的叠加律。布尔把算术的加法运算和乘法运算在逻辑中得到引申。这首先被罗素与怀特海运用于他们在《数学原理》一书中，建立起经典命题演算系统PC，这个逻辑加的定理又在模态中得到运用（A3=B3）。
除了算术与布尔运算的公理，传递律（A6=B6）、双否律（A5=B5）和合取分离式（B2），其实就是古典亚里士多德三段论逻辑中，类似于公理或者公设的命题。可以说，多种不证自明的公理模式，体现在严格蕴涵系统的这六个基础性公理之中。
人类知识，既有原创，多有继承，初创时期模态的基础性六公设，仿佛在表明：人类知识跨越了时空限制，彰显了必然性普世性观念的永恒。
细究A1(B1)-A6(B6)这六个公理，它们其实也可以说，是去掉古典命题演算中那些导致实质蕴涵怪论的原则和假设，保留那些把实质蕴涵，仅仅解释为“可逻辑地推出”关系的原则和假设，这样而被留用的公理。但仅仅这六个公理，还和模态只有隐秘的关联。要让模态从后台走上前台，需要智者的继承，更需要智者的创新。
3、有创新意蕴的特征公理
何为S1呢？经典的公理并不是不可撼动的，它有时候表现为公理范围的扩展，例如算术加法提升到逻辑加法，算术交换律适用的范围就更宽了。有时候，则表现为增加新的公理。自然，这些新公理不会从天而降，它们往往也是古典公理的某种提练。C.I.刘易斯的S1，就是因为引入了一个A7，而形成一个不同于古典命题演算的逻辑系统。这个新引入，并且区别于基础系统的公理，从逻辑意义上，就称之为特征公理。
S1引入了新公理B7，这个引入的公理，我把它称作“不可能公理1”。在引入A7的同时，又引入一致性和可能性的观念。很明显，这里的一致性和可能性，都属于经典的数学观念或者哲学观念，把它们放在逻辑系统之中，这些观念的运用界域由此而扩宽或者扩深，从而导致一门新逻辑的萌生。
因为模态观念还隐藏其后，初始的名称就是严格蕴涵逻辑系统。C.I.刘易斯把这个S1称之为普通推理演算，这个演算不仅是外延的还是内涵的处理它的操作对象。它包括所有那些实质蕴涵的定理，但不包含涉及到实质蕴涵怪论的定理。它有一个不同于实质蕴涵的严格蕴涵，这点我们随后会有评述。
很快就有了S2的想法，这个想法其实是S1方法的重复或者迭代，再次引入新公理，于是就产生了S2。
S2引入的新公理是B8，这个新引入的公理，我把它称作一致性公理。由于这个一致性公理B8的引入，模态从底层浮现出来。于是，出现了系列的模态经典定义和模态经典定理。模态逻辑似乎从母胎之中脱离出来，孕育于母胎的生命，转化成为一个新生儿。这个一致性公理引入而形成的系统，C.I.刘易斯称之为一致性演算。其实就是和S1的不可能演算对应的可能性演算。
我们很快就看到了新生儿的成长，在S1的基础上，我们继续迭代继承，引入另一个新公理A8，这个新公理就是不可能公理2。
这个新生儿继续发育，又变成了严格蕴涵系统的S3。
三、S3给了我们什么观念？
1、S3和S2，S1之间的关系
给S1增加一个新公理A8，所谓不可能公理2(p==>q)==>( ∼◇q==> ∼◇p) ，它另一个等价的公式是(p==>q)==>( □p==> □p)，这个不可能2公式就是C.I.刘易斯S3的特征公理。含有8个A公理的S3，是刘易斯早期著作产生的。正是这部早期著作，引入一系列有关模态的观念，有关模态的定义，有关模态的公理。但早期出现的这个S3，还是一个雏形的严格蕴涵系统。S1和S2虽藏蕴其中，但有待完善和补充。刘易斯十多年之后建构的S1和S2，就是完善和补充的结果。而这里提到的S3，刘易斯早期创建的这个S3，究竟如何来看待它和S1与S2的关系呢？
虽然S1是S2的基础，后者随前者而来。但细心的读者会发现，S2并不是S3的基础，S3的基础依然是S1，我们是从S1生成了两个系统S2和S3。严格蕴涵系统产生之后的研究表明，S2和S3之间的关系，不是包容关系，而是用强弱来描述它们之间的关系。S3和S2相比，它要更强一些。（参见E.U.Hughes和Cress Well《模态逻辑新引论》第207页）
2、非正规模态逻辑和正规模态逻辑
S3和S2不是包容关系，更像一个并列的关系。但这两个严格蕴涵系统，却都接受一个共同的公理◇◇p ，这个公理，就是刘易斯在《符号逻辑》一书附录中，列出的公理C集合中的C13。
这个公理藏蕴了一个奇怪的观念：如果你接受S2和S3这种模态模式，那就很有可能存在某种“世界”，在这个世界之中，如同我们今天很流行的一个格言，没有什么不可能，一切都是可能的。在这里，一切皆可能，没有例外，甚至像“自相矛盾”这样的东西，那也是可能的。克里普克在创建他的关系语义学，也就是可能世界语义学时，称这样一个世界为非正规世界。而和这个非正规世界对应的就是“正规世界”，正规世界和非正规的世界由此就有了两种模态逻辑。
从S3继续前行，就是刘易斯的S4和S5，而S3恰好就是一个界碑。它给我们又一个新逻辑，一个称之为正规模态逻辑的S4。
作为正规模态逻辑的S4，这是一个什么样的逻辑？且待下篇道来。