标题一致性、可能性和关系的一般性质 刘易斯逻辑之七
S1所依仗的公理集合是B1-B7，现在轮到S2了，在S1的基础上多了个B8，它的公理集合就是B1-B8，那个B8就是所谓的一致性公理。C.I刘易斯又从可能性推及一致性。就此，这个S2就既是一个可能性演算，又是一个一致性演算。我们在S1中，基本上避开了模态范畴的讨论。但这个一致性同时也是可能性演算的S2，却直接就谈模态“可能”，算是和模态范畴接轨了。这好像在给你指令，得谈一点一致性或者可能性的哲学了。
刘易斯讨论一致性或可能性，好像不谈来由，看来这想法是他自己思考的结果。那么，我先凭直观，也来琢磨一下这个一致性吧。
一致性虽然抽象，但好像是今天科学与管理界，无论是政府管理还是企业管理，公共管理还是针对个体的管理，都运用得非常广泛的一个观念。随意查阅就可知，有计算机科学中的所谓一致性哈希，统计学中的所谓参数估计的一致性，还有医学中所谓药物评价的一致性等等。若耐心细搜起来，恐怕可以搜寻出很多很多的一致性出来。这些一致性从词义上看，大概不会与C.I.刘易斯为他的S2引入的“一致性关系”含义相差太远。
一致性哈希图片
与一致性相近的自然语言语词，也能给出不少。协调、耦合，和谐，匹配，相依相随，恪守信诺，这些语词或者观念，都和那个飘渺儒雅的“一致性”，有相通相近的含义。
俗谚箴言语曰：言必信、行必果，一言既出，驷马难追。这大概就是讲做人做事的一致性。如果一个人如下文所言：满嘴的仁义道德，却一肚子的男盗女娼。不但自欺，还要欺人，并且把这自欺欺人，看作是有才有德。这大概就是做人做事的不一致性。
而我们普通人使用数学，运用逻辑，用各自的母语进行表达交流，如果不和数学或者逻辑的公理，不和自然语言的法则保持一致性，大概这个人就是所谓痴呆症患者，或者是神经系统有点故障和麻烦的精神病患者了。
以上谈了点虚的，现在言归正传，从逻辑学科的角度来议论一下这个一致性和可能性。
一、一致性和可能性
但从逻辑的角度看，一致性还是用逻辑的“不矛盾性”来刻画，最为准确。所以，C.I.刘易斯用简单的一个条件句来概括这个一致性关系：
如果我们说两个命题p和q之间的关系是一致的，那我的意思就是：用其中的一个命题作为前提，推出了另外一个命题是假的，这是不可能的。（参见刘易斯《符号逻辑》第153页）
这里，我们已经看到了一致性和可能性之间的关系，但这只是一个引发思绪的开端。有了这个引发式的铺垫，C.I.刘易斯先给一致性关系一个符号，他用一个小圆点“〇”表示这种一致性，然后就用一致性来说明可能性。接之，C.I.刘易斯就用这样互通的两个逻辑范畴，把S2给建构了起来。
本来该直奔主题，朝着S2的方向走，但这个涉及关系的讨论，好想要跑点题才有点意思。且让我们超越一下S2，首先来讨论那个几乎处于概念范畴顶端的“关系”概念本身吧。
从S2开始，模态逻辑的两个最主要范畴：可能与必然，将会成为一对常用范畴反复出现在我们将要描绘的S2，一直到S5之中。刘易斯对严格蕴涵系统的模态构建，S1只是提到可能，然后放在那里留待后述。为了更抽象地讨论一般性的关系，我们先来阐释一致性和可能性。看看这两种关系，它们有什么联系和区别？
在S1中，C.I.刘易斯把可能作为初始观念引入，初始符号用钻石形字符◇来表示，可能公式◇p，读作“可能p”，也可以读作“p是自我一致的”。但在S1中，“自我一致”只是稍稍提及，它隐藏在严格蕴涵的符号之中。因为在S1中，是用“可能”来定义“严格蕴涵”，这就是S1中的定义11.02。
11.02 (p==>q) =df ((∼◇(p∧∼q))
整个S1中，有关可能的那些定理和规则，就全部使用这个严格蕴涵的定义来替代“可能”，“可能”模态也就隐藏在“严格蕴涵”之中，“一致性”观念被暂且搁置起来。而随着S1的落幕，S2的登场，这个隐藏的一致性观念，开始从幕后走上了前台。于是，我们在严格蕴涵系统S1中，就有了关于一致性的第一个定义，然后伴之以一系列的定义和定理，这里只引用第一个定义。
17.01. （p〇q）=df ∼（p==>∼q）
这个定义实际上可以解释为，p和q两个命题是一致的，等于是说：p和q可能同时为真。也就是，它可以等价于另一个可以证明的定理：
18.3.（p〇q）== ∼∼◇（p∧q）==◇（p∧q）
所以，这里的字符〇（一致性）和字符◇（可能性），几乎就是意义等同的符号。说两个命题是一致的，也就是说这两个命题合取在一起就是可能的。似乎是，我们可以用一致性来说明可能性，反过来也可以用可能性说明一致性。
但问题并不那么简单，它们毕竟不是同一个概念。那么，这对范畴还有些什么联系和区别呢？在论及S2之前，先对这个有趣的哲学疑惑做一点尝试性的探究，还是有必要的。
二、关系有一般特性么？
对模态的思考，很容易联想到“关系”这个范畴。到目前为止，我们引入的所有的初始观念和命题连接词，都可以看作是某种“关系”的体现。实质蕴涵是一种关系，严格蕴涵也是一种关系，一致性是一种关系，模态可能和必然，实际上也是一种关系。模态逻辑的后续发展，把我们对于模态的思考引到了所谓的关系语义学。模态逻辑存在和发展的意义，大概也在于这种对关系的精细思考。
1、可能性伴随着一致性，一致性蕴藏着可能性
当我们说一个命题p是可能的时候，这个命题一定是自身一致的。而一个可能的复合命题◇（p∧q），它就等价于一致性的复合命题（p〇q）。命题（p∧q）是可能的，也可以说命题p和命题q是一致的。
从纯粹自然语言的角度，一致性和可能性似乎也可以找到某种近似的地方。科学给这个世界提供了无数的可能，但每一种可能都是那种逻辑上可以构想的可能。这种逻辑上可以构想的可能，实际上就是思考过程的前后协调，思考过程的相互匹配，而不是思考的无序和混乱。这是就思考主体而言的。就思考对象的客体而言，自然界呈现的也不是无序和混乱。无论这个世界是上帝创造的，还是自然主义的生成，它总会显现出秩序和规律，容不得无理性的胡来。就此而言，可能性始终伴随着一致性，而一致性中间蕴藏着可能。
所以有：
18.1 ◇p （p〇p）
在C.I.刘易斯的S2中，他为他偏爱的S2增加了一致性公理，其实也称之为可能性公理。
所以就有：
19.01 ◇(p∧q）>◇p
这个公理等价于用一致性表达的公理：
19.11 （p〇q）==>（p〇p）
由此可见，可能性与一致性是很为相似的一对概念。
2、但可能性不是一致性
尽管两者有相似之处，但可能性并不是一致性。有耐心的逻辑学家琢磨这两个抽象的范畴，发现了它们的一些差异。C.I.刘易斯在他的严格蕴涵系统中，把一致性和可能性相比较，得出了两种对应于可能的一致性。
一种是绝对的一致性，如果一致性是自身对于自身的一致性，这就是绝对的一致性。命题（p〇p）中体现的一致性，即绝对的一致性。
一种是相对的一致性，如果一致性涉及到不同的命题，那是不同命题间的一致性，那就是相对的一致性。命题（p〇Q）中体现的一致性，即相对的一致性。
可能这个模态范畴，则并不涉及到面对不同命题，它总是针对唯一命题的可能性。一个可能符号携带的总是唯一的命题，也许是原子的，也许是复合的。但对于可能模态而言，它只覆盖单独的命题。
就此而言，一个一致性的关系，它总是多元的。而一个可能的关系，它总是一元的。
于是，刘易斯其后的模态系统，在引入各种不同关系符号的时候，常常要标记这些符号是一元的，二元的或者是多元的。
这个所带元素的不同，显然是这两个观念一个明显的区别，但它们还有另外的区别在。
3、关系本身的一般性质
可能性与一致性，除了这个一元与多元的差异之外，还有一些差异。透过C.I.刘易斯的《符号逻辑》一书，你似乎感觉到，逻辑所讨论的那些关系，它们本身又体现不少一般性质。这些性质，也许刘易斯之前的好些逻辑学家都认真思考过，例如英国的德摩根，德国的施罗德，特别是强调关系逻辑的美国皮尔斯。但模态逻辑的产生，使得这些一般性的关系性质，在各不相同的模态系统中体现出来。
C.I.刘易斯的S1，它给我的感觉，那个T原则的使用，隐约体现着对于关系的传递性的运用。所谓关系的一般性质，这个传递性就是体现的一般性。亚里士多德逻辑中的一个重要推导依据，其实就是关系的传递性。
现在C.I.刘易斯引入了一致性关系，他发现，一致性关系没有传递性，但明显有对称性。定义17.21反映的，就是这种对称性。而刘易斯把一致性分成两类，一类相对一致性，一类绝对一致性。这里的所谓绝对一致性，反映的其实是关系一般性质的自反性。这个自反性，你在“可能性”观念中那是很难感觉到的。
其实，所有体现在一致性身上的这些一般性质，对于模态范畴好像全都套不上，因为模态范畴必然和可能都是一元的，它们似乎是根本不同于多元关系的某种特殊符号，虽然可能性与一致性也有近似的地方。
随着我们对于模态系统的不断深入，这些涉及关系一般性质的东西，似乎在不断地浮现出来。模态逻辑，这种内涵逻辑的魅力，似乎也就伴随着时间的推移，而不断地诱惑着人类的智力追寻。
三、走进模态的殿堂
在S1中引入一致性或者可能性的公理，我们就在通向模态殿堂的逻辑隧道中前进了一步。C.I.刘易斯似乎不太看好S1，他认为S1并不能体现出他的严格蕴涵系统，虽然S1的公理集合更为简洁。也许是因为那个严格蕴涵替代了模态，让模态隐身于严格蕴涵之后吧。
那么，哪个系统能够体现C.I.刘易斯的严格蕴涵系统呢？他在第六章第五节的尾端，丢下了一个结语：那就是S2，刘易斯愿意把这个S2看作是更为完美的严格蕴涵系统。
何为刘易斯的S2? 且让我们下篇分解。