【信息安全数学基础定理总结】整数与同余

第1章 整数与同余

1.1 整数

整数的定义

整除

1.2 整数的进位制表示法

带余除法

注：很多字母表示其英文单词的首字母。
prime: 素数
divisor: 除数 dividend: 被除数
quotient: 商 remainder: 余数

1.3 整数分解

最大公因数

欧几里得算法

利用欧几里得算法可以将两个整数的最大公因数表示为这两个整数的一个线性组合。

因式分解法

一旦知道了两个数的素分解，则很容易求其最大公约数和最小公倍数。

标准分解式

1.4 同余

同余的概念和性质

注：同余是等价关系










注：利用推论1.4.2我们就可以在模m的同余式两边同时约去与m相对互素的整数。

线性同余

注：线性同余式是一个方程式。


那么，现在我们想知道，在模m的m个同余类中有多少个是此同余式的解呢？换句话说，同余式ax≡b (mod m)有多少个模m不同余的解？

中国剩余定理

威尔逊定理、费马小定理与欧拉定理

注：
1）威尔逊定理的逆定理也是成立的。

2）威尔逊定理可以用来证明某一个合数不是素数。
例：由于(8-1)!=7!=5040≡0 (mod 8)，由威尔逊定理8不是素数。














注：欧拉定理是费马小定理的推广和一般形式，因为对于素数而言， φ(m)=p-1。