问题
第一章
如何证明一个数是素数：
p
<
n
1
/
2
p< n^{1/2}
p < n 1 / 2
φ
(
m
)
=
m
−
1
\varphi(m)=m-1
φ ( m ) = m − 1
(
n
−
1
)
!
+
1
≡
0
m
o
d
n
(n-1)!+1\equiv \ 0\ mod\ n
( n − 1 ) ! + 1 ≡ 0 m o d n
N
=
A
k
−
1
B
k
−
1
+
…
…
+
A
1
B
+
A
0
N=A_{k-1}B_{k-1}+……+A_1B+A_0
N = A k − 1 B k − 1 + … … + A 1 B + A 0
a
n
…
.
.
a
0
a_n….. a_0
a n … . . a 0 （1）
D
∣
a
n
,
d
∣
a
n
−
1
…
,
d
∣
a
0
D | a_n , d | a_{n-1}…,d | a_0
D ∣ a n , d ∣ a n − 1 … , d ∣ a 0
e
∣
a
n
…
e
∣
a
0
e |a_n…e |a_0
e ∣ a n … e ∣ a 0
1.广义欧几里得除法：P22 P25 a + t b=（a，b） 证明在P27
r
−
2
=
a
,
r
−
1
=
b
r_{-2}=a,r_{-1}=b
r − 2 = a , r − 1 = b
s
j
=
(
−
q
j
)
s
j
−
1
+
s
j
−
2
s_j=(-q_j)s_{j-1}+s_{j-2}
s j = ( − q j ) s j − 1 + s j − 2
t
j
=
(
−
q
j
)
t
j
−
1
+
t
j
−
2
t_j=(-q_j)t_{j-1}+t_{j-2}
t j = ( − q j ) t j − 1 + t j − 2
q
j
q_j
q j
[
r
j
−
2
/
r
j
−
1
]
[r_{j-2}/r_{j-1}]
[ r j − 2 / r j − 1 ]
s
−
2
=
1
s
−
1
=
0
t
−
2
=
0
t
−
1
=
1
s_{-2}=1 \quad s_{-1}=0 \quad t_{-2}=0 \quad t_{-1}=1
s − 2 = 1 s − 1 = 0 t − 2 = 0 t − 1 = 1
2
a
−
1
，
2
b
−
1
2^a-1，2^b-1
2 a − 1 ， 2 b − 1
2
（
a
，
b
）
−
1
2^{（a，b）}-1
2 （ a ， b ） − 1 P37 P39
a
1
…
a
n
a_1…a_n
a 1 … a n （1）
a
i
a_i
a i
a
i
a_i
a i
[a，b]=a*b/（a，b）
通过（a，b）的性质：P33
通过贝祖等式： P33 d-b c=1，则（a，b）=1
通过已知的（u，v）=1，构造出（a，b）=1 P35 t-s r=1，即等式成立u+r v b=su+t v
2
a
−
1
，
2
b
−
1
2^a-1，2^b-1
2 a − 1 ， 2 b − 1 P37
第二章
根据定理：m | (a-b) ，则a≡b（mod m）
a≡b（mod m）的充要条件是a=b+q*m
a,b对于m除的余数相同
若(a,m)=1,
d
≡
k
m
o
d
o
r
d
m
(
a
)
d\equiv k\ mod\ ord_m(a)
d ≡ k m o d o r d m ( a )
a
d
≡
a
k
m
o
d
m
a^d\equiv a^k\ mod\ m
a d ≡ a k m o d m P170
（1） 对于9和3：
n
=
a
k
∗
1
0
k
+
.
.
+
a
0
n=a_k*10^k+..+a_0
n = a k ∗ 1 0 k + . . + a 0
a
k
+
.
.
+
a
0
a_k+..+a_0
a k + . . + a 0
n
=
a
k
∗
100
0
k
+
.
.
+
a
0
n=a_k*1000^k+..+a_0
n = a k ∗ 1 0 0 0 k + . . + a 0
(
a
0
+
a
2
+
.
.
)
−
(
a
1
+
a
3
+
…
)
(a_0+a_2+..)-(a_1+a_3+…)
( a 0 + a 2 + . . ) − ( a 1 + a 3 + … ) 11 13-1 ≡-1 mod 7(11/13)
（1）直接取得0，…，m-1即是一个完全剩余系
k
i
k_i
k i
a
∗
k
i
+
b
a*k_i+b
a ∗ k i + b
m
1
∗
m
2
=
m
m_1*m_2=m
m 1 ∗ m 2 = m
m
1
,
m
2
m_1,m_2
m 1 , m 2
k
1
，
k
2
k_1，k_2
k 1 ， k 2
m
1
,
m
2
m_1,m_2
m 1 , m 2
m
2
∗
k
1
+
m
1
∗
k
2
m_2*k_1+m_1*k_2
m 2 ∗ k 1 + m 1 ∗ k 2
（1）对于一个m，
φ
(
m
)
=
m
∗
(
1
−
1
/
p
1
)
∗
(
1
−
1
/
p
2
)
∗
.
.
\varphi(m)=m*(1-1/p_1)*(1-1/p_2)*..
φ ( m ) = m ∗ ( 1 − 1 / p 1 ) ∗ ( 1 − 1 / p 2 ) ∗ . . P43页
m
=
q
∗
p
m=q*p
m = q ∗ p
φ
(
m
)
=
φ
(
q
)
∗
φ
(
p
)
\varphi(m)=\varphi(q)*\varphi(p)
φ ( m ) = φ ( q ) ∗ φ ( p )
（1）按照定义来，在最小非负完全剩余系中暴力判断每一个代表元是否与m互素，是的话保存；最后剩的就是一个最为简单的简化剩余系
k
i
k_i
k i
a
∗
k
i
a*k_i
a ∗ k i
m
1
∗
m
2
=
m
m_1*m_2=m
m 1 ∗ m 2 = m
m
1
,
m
2
m_1,m_2
m 1 , m 2
k
1
，
k
2
k_1，k_2
k 1 ， k 2
m
1
,
m
2
m_1,m_2
m 1 , m 2
m
2
∗
k
1
+
m
1
∗
k
2
m_2*k_1+m_1*k_2
m 2 ∗ k 1 + m 1 ∗ k 2
a
0
,
a
1
,
.
.
,
a
φ
(
m
)
−
1
a^0,a^1,..,a^{\varphi(m)-1}
a 0 , a 1 , . . , a φ ( m ) − 1 P169
b
n
b^n
b n 采用模重复平凡计算法（也叫快速幂 ACM经典算法）：
b
n
b^n
b n
l
o
g
2
n
log_2n
l o g 2 n
t
m
p
=
t
m
p
2
tmp=tmp^2
t m p = t m p 2
r
e
s
=
r
e
s
∗
t
m
p
res=res*tmp
r e s = r e s ∗ t m p
3
5
3^{5}
3 5
2
2
+
2
0
2^2+2^0
2 2 + 2 0
1
l
0
1
r
1_l01_r
1 l 0 1 r
1
r
,
0
,
1
l
1_r,0,1_l
1 r , 0 , 1 l
1
r
1_r
1 r
r
e
s
=
r
e
s
∗
t
m
p
=
3
res=res*tmp =3
r e s = r e s ∗ t m p = 3
t
m
p
=
t
m
p
2
=
9
tmp=tmp^2=9
t m p = t m p 2 = 9
t
m
p
=
t
m
p
2
=
81
tmp=tmp^2=81
t m p = t m p 2 = 8 1
1
l
1_l
1 l
r
e
s
=
r
e
s
∗
t
m
p
=
3
∗
81
=
243
;
res=res*tmp=3*81=243;
r e s = r e s ∗ t m p = 3 ∗ 8 1 = 2 4 3 ;
第三章
对于一次同余式ax ≡ 1 mod m ，有解的充要条件是 （a，m）=1 P92
对于一次同余式的一般形式，ax ≡ b mod m ，有解的充要条件是（a，m）| b P93
p为一个素数，n是一个不大于p的整数，同余式
f
(
x
)
=
x
n
+
.
.
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=x^n+..+a_1x+a_0
f ( x ) = x n + . . + a 1 x + a 0
x
p
−
x
x^p-x
x p − x
第一步，均是判断解的存在性，存在之后 再去进行下一步求解 运用到上面那一个问题的解答
对于一次同余式 ax ≡ 1 mod m 类型，一定有
s
∗
a
+
t
∗
m
=
1
s*a+t*m=1
s ∗ a + t ∗ m = 1 P92
一次同余式一般式ax ≡ b mod m的求解，首先对于式子进行化简，每一个数均除以（a，m），得到
a
1
x
≡
b
1
m
o
d
m
1
a_1x ≡ b_1 mod \ m_1
a 1 x ≡ b 1 m o d m 1
a
1
x
’
≡
1
m
o
d
m
1
a_1x’ ≡ 1 \ mod \ m_1
a 1 x ’ ≡ 1 m o d m 1
a
1
x
≡
b
1
m
o
d
m
1
a_1x ≡ b_1 mod \ m_1
a 1 x ≡ b 1 m o d m 1
x
0
≡
b
1
∗
x
′
m
o
d
m
1
x_0≡b_1*x' \ mod \ m_1
x 0 ≡ b 1 ∗ x ′ m o d m 1
x
≡
x
0
+
k
∗
(
m
/
(
a
,
m
)
)
m
o
d
m
x≡x_0+k*(m/(a,m)) mod \ m
x ≡ x 0 + k ∗ ( m / ( a , m ) ) m o d m P94
{
x
≡
b
1
m
o
d
m
1
.
.
x
≡
b
k
m
o
d
m
k
\begin{cases} x\equiv \ b_1 \ mod \ m_1\\ . \\ . \\x\equiv \ b_k \ mod \ m_k \end{cases}
⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ x ≡ b 1 m o d m 1 . . x ≡ b k m o d m k
其整数解为：
x
≡
b
1
∗
M
1
′
∗
M
1
+
.
.
.
+
b
k
∗
M
k
′
∗
M
k
(
m
o
d
m
)
x\equiv \ b_1*M_1'*M_1+...+b_k*M_k'*M_k\ (mod \ m)
x ≡ b 1 ∗ M 1 ′ ∗ M 1 + . . . + b k ∗ M k ′ ∗ M k ( m o d m )
m
=
m
1
∗
.
.
∗
m
k
m=m_1*..*m_k
m = m 1 ∗ . . ∗ m k
m
=
M
i
∗
m
i
,
M
∗
M
′
≡
1
m
o
d
m
m=M_i*m_i,\ M*M'\equiv 1\ mod\ m
m = M i ∗ m i , M ∗ M ′ ≡ 1 m o d m
对于这个大数，一般情况下是大数是
a
b
a^b
a b
降幂：如果(a,m)=1，那么就可以用欧拉定理来降幂（特殊情况下也可用Wilson定理），
a
φ
(
m
)
≡
1
m
o
d
m
a^{\varphi(m)} \equiv 1 \ mod \ m
a φ ( m ) ≡ 1 m o d m
如果无法降幂，可以考虑，转化为剩余定理来求，把m转化为n个互素 的整数相乘的格式.
快速幂：加快平方的速度
如果降幂也可以利用指数的性质来，也就是
a
d
≡
a
k
m
o
d
m
a^d\equiv a^k\ mod\ m
a d ≡ a k m o d m
d
≡
k
m
o
d
o
r
d
m
(
a
)
d\equiv k\ mod\ ord_m(a)
d ≡ k m o d o r d m ( a ) P170
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
0
≡
0
m
o
d
m
f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 \equiv 0\ mod \ m
f ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 ≡ 0 m o d m
{
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
m
1
.
.
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
m
k
(1)
\begin{cases} f(x)\equiv \ 0 \ mod \ m_1\\ . \\ . \\f(x)\equiv \ 0 \ mod \ m_k \end{cases} \tag1
⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ f ( x ) ≡ 0 m o d m 1 . . f ( x ) ≡ 0 m o d m k ( 1 )
m
1
.
.
m
k
m_1..m_k
m 1 . . m k
m
i
m_i
m i
m
i
m_i
m i
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
m
i
f(x)\equiv \ 0 \ mod \ m_i
f ( x ) ≡ 0 m o d m i
x
1
.
.
x
n
x_1..x_n
x 1 . . x n
b
i
b_i
b i
x
≡
b
1
∗
M
1
′
∗
M
1
+
.
.
.
+
b
k
∗
M
k
′
∗
M
k
(
m
o
d
m
)
x\equiv \ b_1*M_1'*M_1+...+b_k*M_k'*M_k\ (mod \ m)
x ≡ b 1 ∗ M 1 ′ ∗ M 1 + . . . + b k ∗ M k ′ ∗ M k ( m o d m )
T
b
i
T_{b_i}
T b i
f
(
x
)
=
q
(
x
)
∗
(
x
p
−
x
)
+
r
(
x
)
f(x)=q(x)*(x^p-x)+r(x)
f ( x ) = q ( x ) ∗ ( x p − x ) + r ( x )
r
0
(
x
)
=
f
(
x
)
−
a
n
x
n
−
p
∗
g
(
x
)
,
g
(
x
)
=
(
x
p
−
x
)
r_0(x)=f(x)-a_nx^{n-p}*g(x),g(x)=(x^p-x)
r 0 ( x ) = f ( x ) − a n x n − p ∗ g ( x ) , g ( x ) = ( x p − x ) P116
m
=
p
k
m=p^k
m = p k
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
m
f(x) \equiv 0\ mod \ m
f ( x ) ≡ 0 m o d m
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
p
f(x) \equiv 0\ mod \ p
f ( x ) ≡ 0 m o d p
x
1
x_1
x 1
x
2
=
x
1
+
t
∗
p
x_2=x_1+t*p
x 2 = x 1 + t ∗ p
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
p
2
f(x) \equiv 0\ mod \ p^2
f ( x ) ≡ 0 m o d p 2
f
(
x
1
)
+
f
′
(
x
1
)
∗
t
∗
p
≡
0
m
o
d
p
2
f(x_1)+f'(x_1)*t*p\equiv\ 0\ mod\ p^2
f ( x 1 ) + f ′ ( x 1 ) ∗ t ∗ p ≡ 0 m o d p 2
x
i
=
x
i
−
1
+
t
∗
p
i
−
1
x_i=x_{i-1}+t*p^{i-1}
x i = x i − 1 + t ∗ p i − 1
f
(
x
)
≡
0
m
o
d
p
i
f(x) \equiv 0\ mod \ p^i
f ( x ) ≡ 0 m o d p i
f
(
x
i
−
1
)
+
f
′
(
x
i
−
1
)
∗
t
∗
p
≡
0
m
o
d
p
i
f(x_{i-1})+f'(x_{i-1})*t*p\equiv\ 0\ mod\ p^i
f ( x i − 1 ) + f ′ ( x i − 1 ) ∗ t ∗ p ≡ 0 m o d p i P112
第四章
对于从1，m-1的数中，取出与m互素的，然后带入求解，x有解的即为一个平方剩余； P126
x
2
≡
a
m
o
d
p
x^2\equiv\ a\ mod\ p
x 2 ≡ a m o d p
a
p
−
1
2
≡
1
m
o
d
p
a^{\frac{p-1}{2} }\equiv\ 1\ mod\ p
a 2 p − 1 ≡ 1 m o d p 两个解 ，反之，对于
a
p
−
1
2
≡
−
1
m
o
d
p
a^{\frac{p-1}{2} }\equiv\ -1\ mod\ p
a 2 p − 1 ≡ − 1 m o d p P129 如若p！=2,
(
a
1
,
p
)
=
1
,
(
a
2
,
p
)
=
1
(a_1,p)=1,(a_2,p)=1
( a 1 , p ) = 1 , ( a 2 , p ) = 1
a
1
,
a
2
a_1,a_2
a 1 , a 2
a
1
∗
a
2
a_1*a_2
a 1 ∗ a 2
a
1
,
a
2
a_1,a_2
a 1 , a 2
a
1
∗
a
2
a_1*a_2
a 1 ∗ a 2 P130
如若p！=2,则对于模p的简化剩余系中的平方剩余与平方非剩余占比1:1，均是
p
−
1
2
\frac{p-1}{2}
2 p − 1
p
−
1
2
\frac{p-1}{2}
2 p − 1
1
2
,
2
2
,
.
.
(
p
−
1
2
)
2
1^2,2^2,..(\frac{p-1}{2})^2
1 2 , 2 2 , . . ( 2 p − 1 ) 2 P130
(
1
p
)
=
1
\left(\frac{1}{p}\right)=1
( p 1 ) = 1 P132
(
−
1
p
)
=
(
−
1
)
p
−
1
2
\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}
( p − 1 ) = ( − 1 ) 2 p − 1 P132
(
2
p
)
=
(
−
1
)
p
2
−
1
8
\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}
( p 2 ) = ( − 1 ) 8 p 2 − 1 P135 若（a，2p）=1，则
(
a
p
)
=
(
−
1
)
T
(
a
,
p
)
\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{T(a,p)}
( p a ) = ( − 1 ) T ( a , p )
T
(
a
,
p
)
=
∑
k
=
1
p
−
1
2
[
a
∗
k
p
]
T(a,p)=\displaystyle \sum _{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left[\frac{a*k}{p}\right]
T ( a , p ) = k = 1 ∑ 2 p − 1 [ p a ∗ k ] P135
x
2
≡
a
m
o
d
m
x^2\equiv\ a\ mod\ m
x 2 ≡ a m o d m
当m比较小时，暴力
m为p奇素数时，还比较大，那么a为-1，用勒让德符号判断
(
−
1
p
)
=
(
−
1
)
p
−
1
2
\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}
( p − 1 ) = ( − 1 ) 2 p − 1
(
2
p
)
=
(
−
1
)
p
2
−
1
8
\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}
( p 2 ) = ( − 1 ) 8 p 2 − 1
m为奇数时，用雅克比符号判断，与上面一样，但是在a是-1,2，其他的情况下，必须是奇数； P145
第五章
根据定义，带数，对于指数，从0开始递增，对于原根，先确定
φ
(
m
)
\varphi(m)
φ ( m )
如果p是奇素数，
p
−
1
2
\frac{p-1}{2}
2 p − 1
o
r
d
m
(
a
)
=
p
−
1
2
ord_m(a)=\frac{p-1}{2}
o r d m ( a ) = 2 p − 1 P169
o
r
d
m
(
a
d
)
=
o
r
d
m
(
a
)
(
d
,
o
r
d
m
(
a
)
)
ord_m(a^d)=\frac{ord_m(a)}{(d,ord_m(a))}
o r d m ( a d ) = ( d , o r d m ( a ) ) o r d m ( a ) P171 g是模m的原根，那么
(
d
,
φ
(
m
)
)
=
1
,
g
d
(d,\varphi(m))=1,g^d
( d , φ ( m ) ) = 1 , g d P171
o
r
d
m
(
a
∗
b
)
=
o
r
d
m
(
a
)
∗
o
r
d
m
(
b
)
ord_m(a*b)=ord_m(a)*ord_m(b)
o r d m ( a ∗ b ) = o r d m ( a ) ∗ o r d m ( b ) P173
o
r
d
m
n
(
a
)
=
[
o
r
d
m
(
a
)
,
o
r
d
n
(
a
)
]
,
(
m
,
n
)
=
1
ord_{mn}(a)=[ord_m(a),ord_n(a)],(m,n)=1
o r d m n ( a ) = [ o r d m ( a ) , o r d n ( a ) ] , ( m , n ) = 1 P174 a,b与m互素，则存在c
o
r
d
m
(
c
)
=
[
o
r
d
m
(
a
)
,
o
r
d
m
(
b
)
]
ord_m(c)=[ord_m(a),ord_m(b)]
o r d m ( c ) = [ o r d m ( a ) , o r d m ( b ) ] P176
g是p的原根，那么g或者g+p是模
p
2
p^2
p 2 P182
g是
p
2
p^2
p 2
p
a
p^a
p a P182
g是
p
a
p^a
p a
p
a
p^a
p a
2
p
a
2p^a
2 p a P183
a是奇数，b不小于3，则
a
φ
(
2
b
)
/
2
≡
a
2
b
−
2
≡
1
m
o
d
2
b
a^{\varphi(2^b)/2}\equiv\ a^{2^{b-2}}\ \equiv\ 1\ mod\ 2^b
a φ ( 2 b ) / 2 ≡ a 2 b − 2 ≡ 1 m o d 2 b P185
o
r
d
2
b
(
5
)
=
2
b
−
2
ord_{2^b}(5)=2^{b-2}
o r d 2 b ( 5 ) = 2 b − 2 P185
第六章
本章是为了判断一个数是素数：伪素数
n是奇数，（b，n）=1，又有
b
n
−
1
≡
1
m
o
d
n
b^{n-1}\equiv\ 1\ mod\ n
b n − 1 ≡ 1 m o d n P199
给定一个n，和t，取b，（b，n）=1，如果式子
b
n
−
1
≡
1
m
o
d
n
b^{n-1}\equiv\ 1\ mod\ n
b n − 1 ≡ 1 m o d n
Euler伪素数：（b，n）=1，n是奇合数，
b
n
−
1
2
≡
(
b
n
)
m
o
d
n
b^{\frac{n-1}{2}}\equiv\ \left(\frac{b}{n}\right)\ mod\ n
b 2 n − 1 ≡ ( n b ) m o d n
强伪素数：n是奇合数，
n
−
1
=
2
s
∗
t
n-1=2^s*t
n − 1 = 2 s ∗ t
b
t
≡
1
m
o
d
n
b^t\equiv\ 1mod\ n
b t ≡ 1 m o d n
b
2
r
∗
t
≡
−
1
m
o
d
n
b^{2^r*t}\equiv\ -1mod\ n
b 2 r ∗ t ≡ − 1 m o d n
知识点
第一章
a
i
a_i
a i
a
1
…
a
n
a_1…a_n
a 1 … a n
2
a
−
1
=
q
(
2
b
−
1
)
+
2
r
−
1
2^a-1=q(2^b-1)+2^r-1
2 a − 1 = q ( 2 b − 1 ) + 2 r − 1
a
1
…
a
n
a_1…a_n
a 1 … a n
a
k
a_k
a k
N
=
p
1
k
1
…
p
s
k
s
,
k
i
>
0
N=p_1^{k_1}…p_s^{k_s} , k_i>0
N = p 1 k 1 … p s k s , k i > 0
p
i
<
p
j
(
i
<
j
)
p_i < p_j (i<j)
p i < p j ( i < j )
（ln2 /3）（x/lnx） < π(x) < 6ln(2 x/lnx)n lnn < pn <8/(ln2)n lnn
第二章
（1） 对于任一整数a，有a≡a (mod m)
a
1
≡
b
1
m
o
d
m
,
a
2
≡
b
2
m
o
d
m
a_1≡b_1 \ mod \ m , a_2≡b_2 \ mod \ m
a 1 ≡ b 1 m o d m , a 2 ≡ b 2 m o d m （1）
a
1
+
a
2
≡
b
1
+
b
2
m
o
d
m
a_1+a_2≡b_1+b_2 \ mod \ m
a 1 + a 2 ≡ b 1 + b 2 m o d m
a
1
∗
a
2
≡
b
1
∗
b
2
m
o
d
m
a_1*a_2≡b_1*b_2 \ mod \ m
a 1 ∗ a 2 ≡ b 1 ∗ b 2 m o d m
d
∗
a
≡
d
∗
b
m
o
d
m
d*a ≡ d*b \ mod \ m
d ∗ a ≡ d ∗ b m o d m
a
∗
d
≡
b
∗
d
m
o
d
m
∗
d
a*d ≡ b*d \ mod \ m*d
a ∗ d ≡ b ∗ d m o d m ∗ d
m
i
m_i
m i
m
1
,
m
2
,
…
m
n
m_1,m_2,…m_n
m 1 , m 2 , … m n
r
0
,
r
1
.
.
.
r
m
−
1
r_0,r_1...r_{m-1}
r 0 , r 1 . . . r m − 1
r
0
.
.
r
m
−
1
r_0..r_{m-1}
r 0 . . r m − 1
φ
\varphi
φ
a
′
a'
a ′
1
≤
a
′
<
m
1 \leq a' < m
1 ≤ a ′ < m
a
∗
a
′
≡
1
m
o
d
m
a*a'≡1 \ mod\ m
a ∗ a ′ ≡ 1 m o d m
∑
d
∣
m
φ
(
d
)
=
m
\displaystyle \sum_{d|m}{\varphi(d)=m}
d ∣ m ∑ φ ( d ) = m
a
φ
(
m
)
≡
1
m
o
d
m
a^{\varphi(m)} ≡ 1 \ mod \ m
a φ ( m ) ≡ 1 m o d m
a
m
−
1
≡
1
m
o
d
m
a^{m-1} ≡ 1 \ mod \ m
a m − 1 ≡ 1 m o d m
a
p
≡
a
m
o
d
p
a^p ≡a \ mod \ p
a p ≡ a m o d p
a
t
+
k
(
p
−
1
)
≡
a
t
（
m
o
d
p
）
a^{t+k(p-1)} ≡a^t（mod \ p）
a t + k ( p − 1 ) ≡ a t （ m o d p ）
a
t
a^t
a t
第三章
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0
f ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0
a
i
a_i
a i
a
∗
a
′
≡
a
′
∗
a
≡
1
m
o
d
m
a*a'≡a'*a≡1 \ mod \ m
a ∗ a ′ ≡ a ′ ∗ a ≡ 1 m o d m
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0
f ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0
g
(
x
)
=
x
m
+
.
.
.
+
b
1
x
+
b
0
g(x)=x^m+...+b_1x+b_0
g ( x ) = x m + . . . + b 1 x + b 0
f
(
x
)
=
g
(
x
)
∗
q
(
x
)
+
r
(
x
)
f(x)=g(x)*q(x)+r(x)
f ( x ) = g ( x ) ∗ q ( x ) + r ( x )
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
0
≡
0
m
o
d
p
f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0≡0\ mod p
f ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 ≡ 0 m o d p
f
(
x
)
≡
f
k
(
x
)
∗
(
x
−
x
1
)
∗
.
.
.
∗
(
x
−
x
k
)
m
o
d
p
f(x)≡f_k(x)*(x-x_1)*...*(x-x_k) mod\ p
f ( x ) ≡ f k ( x ) ∗ ( x − x 1 ) ∗ . . . ∗ ( x − x k ) m o d p
f
k
(
x
)
f_k(x)
f k ( x )
a
n
a_n
a n
f
(
x
)
=
x
n
+
.
.
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=x^n+..+a_1x+a_0
f ( x ) = x n + . . + a 1 x + a 0
x
p
−
x
x^p-x
x p − x
x
d
−
1
m
o
d
p
x^d-1mod\ p
x d − 1 m o d p
第四章
x
2
≡
a
m
o
d
m
x^2\equiv \ a\ mod\ m
x 2 ≡ a m o d m
x
2
≡
a
m
o
d
p
x^2\equiv\ a\ mod\ p
x 2 ≡ a m o d p
a
p
−
1
2
≡
1
m
o
d
p
a^{\frac{p-1}{2} }\equiv\ 1\ mod\ p
a 2 p − 1 ≡ 1 m o d p
a
p
−
1
2
≡
−
1
m
o
d
p
a^{\frac{p-1}{2} }\equiv\ -1\ mod\ p
a 2 p − 1 ≡ − 1 m o d p
(
a
p
)
=
{
1
,
若a是模p的平方剩余
−
1
,
若
a
是
模
p
的
平
方
非
剩
余
0
,
若p|a
\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}1,&\text{若a是模p的平方剩余}\\-1,&{若a是模p的平方非剩余}\\0,&\text{若p|a}\end{cases}
( p a ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 , − 1 , 0 , 若 a 是模 p 的平方剩余 若 a 是 模 p 的 平 方 非 剩 余 若 p|a
(
a
p
)
≡
a
p
−
1
2
（
m
o
d
m
）
\left(\frac{a}{p}\right)\equiv\ a^{\frac{p-1}{2}}（mod\ m）
( p a ) ≡ a 2 p − 1 （ m o d m ）
(
a
+
p
p
)
=
(
a
p
)
\left(\frac{a+p}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)
( p a + p ) = ( p a )
(
a
∗
b
p
)
=
(
a
p
)
∗
(
b
p
)
\left(\frac{a*b}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)*\left(\frac{b}{p}\right)
( p a ∗ b ) = ( p a ) ∗ ( p b )
(
a
2
p
)
=
1
,
(
a
,
p
)
=
1
\left(\frac{a^2}{p}\right)=1,(a,p)=1
( p a 2 ) = 1 , ( a , p ) = 1
1，a 2，…a*（p-1）/2中模p的最小正剩余大于p/2的个数是m，则有
(
a
p
)
=
(
−
1
)
m
\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^m
( p a ) = ( − 1 ) m
(
p
q
)
=
(
−
1
)
p
−
1
2
∗
q
−
1
2
(
q
p
)
\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}*\frac{q-1}{2}}\left(\frac{q}{p}\right)
( q p ) = ( − 1 ) 2 p − 1 ∗ 2 q − 1 ( p q )
(
a
m
)
=
(
a
p
1
)
.
.
.
(
a
p
r
)
\left(\frac{a}{m}\right)=\left(\frac{a}{p_1}\right)...\left(\frac{a}{p_r}\right)
( m a ) = ( p 1 a ) . . . ( p r a )
m
=
p
1
.
.
.
p
r
m=p_1...p_r
m = p 1 . . . p r
x
2
≡
a
m
o
d
m
x^2\equiv\ a\ mod\ m
x 2 ≡ a m o d m
(
a
m
)
=
1
\left(\frac{a}{m}\right)=1
( m a ) = 1
(
a
m
)
=
−
1
\left(\frac{a}{m}\right)=-1
( m a ) = − 1 模平方根看不下去了…先放放
第五章
a
e
≡
1
m
o
d
m
a^e\equiv 1 \ mod\ m
a e ≡ 1 m o d m
o
r
d
m
(
a
)
ord_m(a)
o r d m ( a )
o
r
d
m
(
a
)
=
φ
(
m
)
ord_m(a)=\varphi(m)
o r d m ( a ) = φ ( m )
如果有整数d，满足
a
d
≡
1
m
o
d
m
a^d\equiv 1 \ mod\ m
a d ≡ 1 m o d m
o
r
d
m
(
a
)
∣
d
ord_m(a)|d
o r d m ( a ) ∣ d P168
若b与a模m同余，则a，b指数相同 169
a与
a
−
1
a^{-1}
a − 1
o
r
d
m
(
a
)
∣
φ
(
m
)
ord_m(a)|\varphi(m)
o r d m ( a ) ∣ φ ( m )
a
0
,
.
.
,
a
φ
(
m
)
−
1
a^0,..,a^{\varphi(m)-1}
a 0 , . . , a φ ( m ) − 1
a
d
≡
a
k
m
o
d
m
a^d\equiv a^k\ mod\ m
a d ≡ a k m o d m
d
≡
k
m
o
d
o
r
d
m
(
a
)
d\equiv k\ mod\ ord_m(a)
d ≡ k m o d o r d m ( a )
(
d
,
φ
(
m
)
)
=
1
,
g
d
(d,\varphi(m))=1,g^d
( d , φ ( m ) ) = 1 , g d P171
k
∣
o
r
d
m
(
a
)
k|ord_m(a)
k ∣ o r d m ( a )
o
r
d
m
(
a
d
)
=
k
ord_m(a^d)=k
o r d m ( a d ) = k
o
r
d
m
(
a
)
k
∣
d
\frac{ord_m(a)}{k}|d
k o r d m ( a ) ∣ d
φ
(
k
)
\varphi(k)
φ ( k )
φ
(
φ
(
m
)
)
\varphi(\varphi(m))
φ ( φ ( m ) )
o
r
d
n
(
a
)
∣
o
r
d
m
(
a
)
ord_n(a)|ord_m(a)
o r d n ( a ) ∣ o r d m ( a ) P174
p,q为奇素数，（a,qp）=1则：
o
r
d
p
q
(
a
)
=
[
o
r
d
p
(
a
)
,
o
r
d
q
(
a
)
]
∣
[
p
−
1
,
q
−
1
]
ord_{pq}(a)=[ord_p(a),ord_q(a)]\ |\ [p-1,q-1]
o r d p q ( a ) = [ o r d p ( a ) , o r d q ( a ) ] ∣ [ p − 1 , q − 1 ] P174
p,q=2p-1,是奇素数，（a,qp）=1，则
o
r
d
p
q
(
a
)
=
[
o
r
d
p
(
a
)
,
o
r
d
q
(
a
)
]
∣
q
−
1
ord_{pq}(a)=[ord_p(a),ord_q(a)]\ |\ q-1
o r d p q ( a ) = [ o r d p ( a ) , o r d q ( a ) ] ∣ q − 1 P175
设
m
=
2
n
∗
p
1
a
1
.
.
p
k
a
k
m=2^n*p_1^{a_1}..p_k^{a_k}
m = 2 n ∗ p 1 a 1 . . p k a k
o
r
d
m
(
a
)
=
[
o
r
d
2
n
(
a
)
,
o
r
d
p
1
a
1
(
a
)
，
.
.
，
o
r
d
p
k
a
k
(
a
)
]
ord_m(a)=[ord_{2^n}(a),ord_{p_1^{a_1}}(a)，..，ord_{p_k^{a_k}}(a)]
o r d m ( a ) = [ o r d 2 n ( a ) , o r d p 1 a 1 ( a ) ， . . ， o r d p k a k ( a ) ] P176
o
r
d
m
(
c
)
=
[
o
r
d
m
(
a
)
,
o
r
d
m
(
b
)
]
ord_m(c)=[ord_m(a),ord_m(b)]
o r d m ( c ) = [ o r d m ( a ) , o r d m ( b ) ] P176
a
k
e
≡
1
m
o
d
m
a_k^e\equiv\ 1\ mod\ m
a k e ≡ 1 m o d m
φ
(
m
)
\varphi(m)
φ ( m )
e
=
o
r
d
m
(
a
)
=
[
p
r
d
m
(
a
1
)
,
.
.
,
o
r
d
m
(
a
φ
(
m
)
)
]
,
a
1
.
.
.
e=ord_m(a)=[prd_m(a_1),..,ord_m(a_{\varphi(m)})],a_1...
e = o r d m ( a ) = [ p r d m ( a 1 ) , . . , o r d m ( a φ ( m ) ) ] , a 1 . . .
e
=
φ
(
p
)
=
p
−
1
e=\varphi(p)=p-1
e = φ ( p ) = p − 1
φ
(
p
−
1
)
\varphi(p-1)
φ ( p − 1 )
q
1
,
.
.
,
q
s
q_1,..,q_s
q 1 , . . , q s
g
p
−
1
q
i
!
≡
1
m
o
d
p
g^{p-1}{q_i}!\equiv\ 1\ mod\ p
g p − 1 q i ! ≡ 1 m o d p
p
a
,
2
p
a
p^a,2p^a
p a , 2 p a 指标讲的很快，应该不太重要…
第六章
b
−
1
b^{-1}
b − 1
b
n
−
1
≡
1
m
o
d
n
b^{n-1}\equiv\ 1\ mod\ n
b n − 1 ≡ 1 m o d n
如n是一个奇合数，则
n
=
p
1
.
.
p
k
n=p_1..p_k
n = p 1 . . p k
p
i
−
1
∣
n
−
1
p_i-1\ |\ n-1
p i − 1 ∣ n − 1
给出安全参数t，和要检验的奇数n
随机取b属于1，n-1
计算
r
0
=
b
t
m
o
d
n
r_0=b^t\ mod\ n
r 0 = b t m o d n
如果
r
0
=
1
或
者
−
1
r_0=1或者-1
r 0 = 1 或 者 − 1
如果
r
0
r_0
r 0
r
i
=
r
i
−
1
2
r_i=r_{i-1}^2
r i = r i − 1 2
r
i
=
−
1
r_i=-1
r i = − 1
第八章无…
—结束了，刷题！
