文章目录

第一章整数的可除性
第二章同余
第三章同余式
第四章二次同余式与平方剩余
第五章原根与指标
第八章群、环、域
第十四章椭圆曲线

第一章整数的可除性

0能被任何非0整数整除
50的所有因数：1、2、5、10、25、50、-1、-2、-5、-10、-25、-50
朴素素数判别：先求出小于等于根号n的所有素数，若这些素数都不整除n，则n为素数，否则为合数
若a、b、c是三个不全为0的整数，如果a=qb+c，q是整数，则（a，b）=（b，c)
bezout定理：设a、b是任意两个正整数，zz额存在整数s，t使得sa+tb=（a，b）
(ma,mb)=m(a,b)
形为2^a-1的整数及其最大公因数
设a、b是两个正整数，若a被b除的最小非负余数是r，2^a-1被2^b-1除的最小非负余数是2^r-1
(2^a-1,2^b-1)=2^(a,b)-1
2^a-1/2^b-1的充要条件是b|a
给定正合数n>1,如果存在整数a、b使得 $n\mid a^2-b^2,n\nmid a-b,n\nmid a+b$ ,则(n,a-b),(n,a+b)都是n的真因数。
广义欧几里得除法：求sa+tb=(a,b)
画表方法：
分别记录每一行为j，s_j,t_j,q_j+1,r_j+1
j从-3开始，
j=-3时，r_j+1=a，其他为空
j=-2时，s_j=1,t_j=0,r_j+1=b,其他为空
j=-1时，s_j=0，t_j=1,q_j+1为r_j-1/r_j,r_j+1为r_j-1%r_j
以后每一行s_j=s_j-2(上两行）-q_j(上一行）*s_j-1（上一行），q_j+1为r_j-1（上两行）/r_j（上一行）,r_j+1为r_j-1%r_j
直到 r_j+1=0结束，s_j,t_j即为所求s和t。
在这里插入图片描述
设a=737，b=635,计算整数s，t使得求sa+tb=(a,b)

j	s_j	t_j	q_j+1	r_j+1
-3				737
-2	1	0		635
-1	0	1	1	102
0	1	-1	6	23
1	-6	7	4	10
2	25	-29	2	3
3	-56	65	3	1
4	193	-224	3	0

最终得s=193，t=-224

第二章同余

若 $x\equiv y$ (mod m),a_i $\equiv$ b _i(mod m),i=0,1,2,……，k，则
a₀+a₁x+……+a_kx^k $\equiv$ b₀+b₁x+……+b_kx^k(mod m)

10 $\equiv$ 1(mod 3)
5874192 $\equiv$ 5+8+7+4+1+9+2 $\equiv$ 36(mod 3)
3 $\mid$ 36,3 $\mid$ 5874192
同理
10 $\equiv$ 1(mod 9)
9 $\mid$ 36,9 $\mid$ 5874192
同理10 $\equiv$ -1(mod 7) 10 $\equiv$ -1(mod 11) 10 $\equiv$ -1(mod 13)
126637693 $\equiv$ 126-637+693 $\equiv$ 182(mod 7)（mod 11）（mod 13）
因7 $\mid$ 182,11 $\nmid$ 182,13 $\mid$ 182,故7 $\mid$ 126637693,11 $\nmid$ 126637693,13 $\mid$ 126637693

设m是一个正整数，ad $\equiv$ bd(mod m),如果（d，m）=1，则a $\equiv$ b(mod m)
设m是一个正整数，a $\equiv$ b(mod m),如果d是a、b及m的任一公因数，则 $\frac{a}{d}\equiv\frac{b}{d}$ (mod $\frac{m}{d}$ )

a $\equiv$ b（mod p）a $\equiv$ b(mod q),则a $\equiv$ b(mod [p,q])

证明同余式的基本方法：把同余式译为整式，运算后再将整式译为同余式
a $\equiv$ b(mod m),则m|a-b

对任意整数模m，（a，m）=1，b是任意整数，当k遍历模m的完全剩余系时，ak+b也遍历模m的完全剩余系。
若（m₁,m₂)=1,m₁>0,m₂>0,而k₁,k₂分别遍历模m₁，m₂的完全剩余系，则k₁m₂+m₁k₂遍历模m₁m₂的完全剩余系。
若（m₁,m₂)=1,m₁>0,m₂>0,而k₁,k₂分别遍历模m₁，m₂的j简化剩余系，则k₁m₂+m₁k₂遍历模m₁m₂的简化剩余系。
设m₁,m₂,……m_k是k个互素的正整数，若x₁,x₂,……x_k分别遍历m₁,m₂,……m_k的完全剩余系，则m₂……m_kx₁+m₁m₃……m_kx₂+……m₁……m_k-1x_k遍历m₁,m₂,……m_k的完全剩余系。

欧拉函数 $\phi(x)$ 是定义在正整数上的函数， $\phi(m)$ 的值等于0，1，2，……，m-1中与m互素的数的个数
1和任何整数互素，包括0
对于素数幂m=p^a,有 $\phi(m)$ =p^a-p^a-1=m(1- $\frac{1}{p}$ )

设m是一个正整数，（a，m）=1，则存在整数a’,1 $\leq$ a’<m,使得aa‘ $\equiv$ 1(mod m)

设正整数m的标准分解式为
m= $p_1^{a_1}$ $p_2^{a_2}$ …… $p_k^{a_k}$
则 $\phi(m)$ =m(1- $\frac{1}{p_1}$ )(1- $\frac{1}{p_2}$ )……(1- $\frac{1}{p_k}$ )
$\phi(mn)$ = $\phi(m)\phi(n)$

设m是一个正整数，则 $\sum\limits_{d\mid m}\phi(d)=m$
欧拉定理：设m是大于1的整数，（a，m）=1，则 $a^{\phi(m)}\equiv 1$ (mod m)

费马小定理：p是质数，对于任意整数a，a^p $\equiv$ a(mod p)
当（a,p)=1时，a^p-1 $\equiv$ 1 (mod p)

威尔逊定理：设p是一个素数，则（p-1）! $\equiv$ -1(mod p)

第三章同余式

逆元：当（a，m）=1时，a存在模m的逆元a’, $aa'\equiv 1$ (mod m)
求逆元（即求ax $\equiv$ 1(mod m)的两个方法:1、bezout等式2、欧拉定理（两边同乘 $a^{\phi(m)}-1$

若m=m₁m₂……m_k,(m_i,m_j)=1,i $\neq$ j,则
$f(x)=0\Longleftrightarrow$ $\begin{cases} f(x)\equiv0(modm_1)\\ ……\\ f(x)\equiv0(modm_2) \end{cases}$

中国剩余定理
若m₁,m₂,…m_k两两互素，则对任意整数b₁,b₂,…,b_k,同余式组
$\begin{cases} x\equiv b_1(modm_1)\\ x\equiv b_2(modm_2)\\ ……\\ x\equiv b_k(modm_k) \end{cases}$
一定有解，且在模 $m_1m_2m_3…m_k$ 下解唯一
若令m= $m_1m_2m_3…m_k$ ， $M_i=\frac{m}{m_i},i=1…k,$
则同余式组的解可表示为
$x\equiv b_1M_1'M_1+b_2M_2'M_2+...+b_kM_k'M_k$ (mod m)
其中 $M_1'M_1\equiv 1$ (mod m_i),i=1,…,k

提升定理：若x $\equiv$ x₁(mod p)是同余式f(x) $\equiv$ 0(mod p)的一个解，且（f’(x),p)=1,则同余式f(x) $\equiv$ 0(mod p^a)有解x $\equiv$ x_a(mod p^a),若（f’(x),p)>1,未必有解
x_a可由递推式得到
$\begin{cases} x_i\equiv x_{i-1}+p^{i-1}t_{i-1}(modp^i)\\ t_{i-1}\equiv -\frac{f(x_{i-1})}{p^{i-1}}*(f'(x))^{-1}(mod p))(modm_k)&i=2,3…a \end{cases}$

素数模同余式的简化
由费马小定理当p是素数时，对任意整数a，a^p $\equiv$ a(mod p)，则对于任意整数x,都有x^p-x $\equiv$ 0(mod p)
则对于f(x) $\equiv$ (mod p),f(x)=q(x)(x^p-x)+r(x) $\equiv$ r(x)(mod p)
若r(x) $\equiv$ 0(mod p),则有n个不同的解
对于n阶的f(x),可先左右同乘a_n的逆元，化首项为1

模素数p的同余式的解数不超过次数n，成立的两个前提条件：p时素数，a_n $\not\equiv0$ (mod p)
若模数不是质数，则解数可能超过次数
若次数小于p的模p整系数多项式解数为p等价于其系数都被p整除

p是一个质数，d是p-1的正因数，则多项式x^d-1模p有d个不同的根

讨论素数模同余式f(x) $\equiv$ 0(mod p)的解数、次数与模p的大小关系
(1)当f(x)的次数n $\ge$ p时，解数 $\le$ 模p $\le$ 次数n
(2)当f(x)的次数n<p时,解数 $\le$ 次数n<模p
a.f(x)的最高次项系数a_n $\not\equiv$ 0(mod p)
x^p-p $\equiv q(x)f(x)$ (mod p) $\Longleftrightarrow$ 解数=次数n
f(x) $\equiv$ x^d-1(mod p),d $\mid$ p-1 $\Longrightarrow$ 解数=次数d
b.f(x)中每个系数a_i $\equiv$ 0(mod p) $\Longleftrightarrow$ 解数=模p

第四章二次同余式与平方剩余

ax²+bx+c $\equiv$ 0(mod p^a),a $\not\equiv$ 0(mod p),若p为奇素数，则（p^a,4a)=1,将同余式两端同乘4a，令y=2ax+b,A $\equiv$ b²-4ac可化为y $\equiv$ A(mod p^a)

m是正整数，若同余式x² $\equiv$ a(mod m),(a,m)=1有解，则a叫做模m的平方剩余（或二次剩余），否则，a叫做模m的平方非剩余（或二次非剩余）

欧拉判别条件：若（a，p）=1，则
(1)a是模p的平方剩余 $\Longleftrightarrow$ $a^\frac{p-1}{2}$ $\equiv$ 1(mod p)
(2)a是模p的平方非剩余 $\Longleftrightarrow$ $a^\frac{p-1}{2}$ $\equiv$ -1(mod p)
且若a是模p的平方剩余，则同余式 $x^2\equiv$ a(mod p),(a,p)=1恰有两解。

勒让德符号
设p是素数，勒让德符号
$(\frac{a}{p})=\begin{cases} 1,&若a是模p的平方剩余\\ -1,&若a是模p的平方非剩余\\ 0,&若p\mid a \end{cases}$
若p是奇素数，则对任意整数a
$(\frac{a}{p})\equiv a^{\frac{p-1}{2}}$ (mod p)
$(\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})$

高斯引理
设p为奇素数，a是整数，(a,p)=1,如果整数a1,a2,……,a* $\frac{p-1}{2}$ 中模p的最小正剩余大于 $\frac{p}{2}$ d的个数是m，则 $(\frac{a}{p})=(-1)^m$
设p是奇素数， $(\frac{2}{p})=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$
若(a,2p)=1,则 $(\frac{a}{p})=(-1)^{T(a,p)}$ ,其中T(a,p)= $\sum\limits_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}[\frac{a*k}{p}]$

二次互反律
若p,q是互素的奇素数，则 $(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}*\frac{q-1}{2}}(\frac{p}{q})$

雅可比符号
设m=p₁p₂……p_r是素数p_i的乘积，对任意整数a，其雅可比符号为
$(\frac{a}{m})=(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_1})……(\frac{a}{p_1})$
$(\frac{a}{m})=-1\Longrightarrow$ 存在某个( $\frac{a}{p_1})=-1\Longleftrightarrow$ $x^2\equiv a$ (mod m)无解
雅可比符号的计算性质同于勒让德符号

模p平方根
p=4k+3型素数
解二次同余式 $x^2\equiv a$ (mod p),设素数p=4k+3，如果同余式 $x^2\equiv a$ (mod p)有解，其解为x= $\pm a^{\frac{p+1}{4}}$

p为奇素数的情况
若有解
1、初始次数为 ${\frac{p-1}{2}}$ ,即 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1$ (mod p)
2、若次数为奇数两边同乘a，否则两边同时开方，计算右边是1还是-1，若是1，重复第2步（看次数奇偶），若是-1，进行第3步
2、取模数p的一个平方非剩余x，左边乘 $x^{\frac{p-1}{2}}$ ,右边由-1变为1，重新进行第2步

同余式 $x^2\equiv a$ (mod $2^\alpha$ )
当 $\alpha=1$ 时,解数为1
当 $\alpha=2$ 时,若 $a\equiv1$ (mod 4),则有解，且解数为2
当 $\alpha>2$ 时,若 $a\equiv1$ (mod 8),则有解，且解数为4
在这里插入图片描述
求解 $x^2+y^2=p$ ,p是素数

第五章原根与指标

设m>1是整数，a是与m互素的正整数，则使得 $a^e\equiv1$ (mod m)成立的最小正整数e，叫做a对模m的指数，记作ord_m(a)
如果a对模m的指数是 $\phi(m)$ ,则a叫做模m的原根。
ord_m(a)=ord_m(a^-1)

设m>1是整数，(a,m)=1,整数d $\ge$ 0,则
$ord_m(a^d)=\frac{ord_m(a)}{(d,ord_m(a))}$

设m>1是整数，(a,m)=1,则 $ord_m(a)\mid\phi(m)$ ,据此推论，可在 $\phi(m)$ 的所有因数中寻找 $ord_m(a)$
设m>1是整数，g是模m的原根，设 $d\ge0$ 为整数，则
$g^d$ 是模m的原根 $\Longleftrightarrow$ $(d,\phi(m))=1$ ,符合条件的d再0—— $\phi(m)-1$ 中有 $\phi(\phi(m))$ 个，即若原根存在，则有 $\phi(\phi(m))$ 个
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大指数构造
设m>1是整数，(a,m)=1,(b,m)=1,则 $ord_{m}(ab)\mid[ord_m(a),ord_m(b)]\mid ord_m(a)*ord_m(b)$
设m>1是整数，(a,m)=1，(b,m)=1,则存在c使得 $ord_m(c)=[ord_m(a),ord_m(b)]$ , $c=a^sb^t$ ,其中s= $\frac{ord_m(a)}{u}$ ,t= $\frac{ord_m(b)}{v}$ ,u、v满足 $u\mid ord_m(a)$ 、 $v\mid ord_m(b)$ ,(u,v)=1, $uv=[ord_m(a),ord_m(b)]$
设m>1是整数，(a,m)=1,(b,m)=1,则存在c使得 $ord_m(c)=[ord_m(a),ord_m(b)]$
设m>1是整数， $a_1,a_2…，a_{\phi(m)}$ 是模m的简化剩余系，则存在整数c使得 $[ord_m(c)=ord_m(a_1),…，ord_m(a_{\phi(m)})]$ ,而 $ord_m(c)$ 也恰为使得 $a_k^e\equiv 1$ (mod m), $1\le k\le\phi(m)$ 成立的最小正整数e，称为模m的简化剩余系指数
设m、n都是大于1的整数，整数a与m、n均互素，则
(1)、若 $n\mid m$ 则 $ord_n(a)\mid ord_m(a)$
(2)、若(m,n)=1,则 $ord_{mn}(a)=[ord_m(a),ord_n(a)]$
设m，n都是大于1的整数，且(m,n)=1,则对任意与m互素的整数 $a_1$ 、与n互素的整数 $a_2$ ，存在整数a使得
$ord_{mn}(a)=[ord_m(a_1),ord_n(a_2)]$

模p原根
设p是奇素数，则模p的原根存在
模m原根
模m的原根存在的充要条件是 $m=2,2,p^{\alpha},2p^{\alpha}$

指标
设整数m>1,g是模m的一个原根，(a,m)=1,则存在唯一的整数r使得 $g^r\equiv a$ (mod m),其中 $1\le r\le\phi(m)$ 成立，这个整数r叫做以g为底的a对模m的一个指标，记作 $r=ind_ga$ (或 $r=inda$ )

n次同余式
设m>1,(a,m)=1,如果n次同余式 $x^n\equiv a$ (mod m)有解，则a叫做模m的n次剩余；否则，a叫做模m的n次非剩余。
设m>1,g是模m的一个原根,(a,m)=1,则n次同余式 $x^n\equiv a$ (mod m)有解的充分必要条件是 $(n,\phi(m))\mid ind_ga$ ,且在有解的情况下，解数为 $(n,\phi(m))$
设整数m>1,g是模m的一个原根，(a,m)=1,则a是模m的n次剩余的充分必要条件是 $a^{\frac{\phi(m)}{d}}\equiv 1$ (mod m),其中 $d=(n,\phi(m))$
设整数m>1,g是模m的一个原根，(a,m)=1,则a对模m的指数是 $ord_m(a)=\frac{\phi(m)}{(\phi(m),ind_g(a))}$
特别地，a是模m的原根 $\Longleftrightarrow$ $(\phi(m),ind_g(a))=1$
设整数m>1,g是模m的的一个原根，则模m的简化剩余系中，指数是e的整数个数是 $\phi(e)$ ,特别的，模m简化剩余系中原根的个数是 $\phi(\phi(m))$

第八章群、环、域

设S是一个非空集合，将映射f:SS $\rightarrow$ S,(a,b) $\rightarrow$ c叫做S的一个二元代数运算，把(s,f)叫做二元代数系统。
封闭性：对于S中任意两个元素a、b，通过f可唯一确定S中一个元素c：f(a,b)=c,若将二元代数f即为,则将f(a,b)=c,记为a*b=c
自然数集合N:加法、乘法是二元代数运算，减法和除法不是二元代数运算

设S是一个非空集合，若* 为S上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统(S,*)为半群。

设(G,* )为半群，如果满足下面条件：
(1)、G中有一个元素1，使得对于G中任意元素a都有1* a=a* 1=a
(2)、对于G中任意a，都可找到G中一个元素a^-1,使得a*a^-1=a^-1*a=1,则称(G, )为群，元素1称为单位元，a^-1称为a的逆元，群G中包含的元素个数叫做群G的阶，记为|G|。如果G有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。如果G中运算还满足交换律，那么G叫做交换群或阿贝尔群。
群中消去律成立

群的判定：
方法一：
1、G非空
2、运算封闭
3、运算满足jiehelv
4、G中有运算的左单位元
5、G中任意元素关于运算有左逆元
方法二：
4、对G中任意元素a、b，有x，y使 $\begin{cases} x*a=b\\ a*y=b \end{cases}$
方法三：
4、对G中任意元素a、b，
$\begin{cases}a*x=a*y\Longrightarrow x=y\\ x*a=y*a\Longrightarrow x=y \end{cases}$

对于人亦整数m、n
第一指数律： $a^m*a^n=a^{m+n}$
第二指数律： $(a^m)^n=a^{mn}$
对群中任意元素a、b有 $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
在Abel群中，第三指数律成立： $(a,b)^m=a^m*b^m$ ,m为任意整数。一般来说，群中第三指数律不成立。

子群
设(G,*)是一个子群， $H\subseteq G$ ,如果(H, * )仍是一个群，则(H, * )叫做(G, *)的子群，记作 $H\le G$ 。如果 $H\subset G$ 则(H, *)叫做(G, *)的真子群。
平凡子群：1、单位子群{1}；2、G本身
其余的子群成为非平凡子群

子群判定
条件一：1、H非空；2、H对*运算封闭；3、对任意 $a\in H$ ,由 $a^{-1}\in H$
条件二：1、H非空；2、对任意 $a\in H$ , $b\in H$ ,由 $ab^{-1}\in H$

生成子群
设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合， $a^n,n=\pm1,\pm2,…$ 做成G的一个子群，记为(a),此群称为由a生成的子群。

循环群
称群G为一个循环群，如果G可以由它的某元素a生成，即由 $a\in G$ 使得G=(a),a称为群G的生成元，子群(a)可称为由a生成的循环子群
循环群必为Able群
循环群的子群仍为循环群

元素的周期
对于群中的元素a，使得 $a^k\equiv e$ 的最小正整数k称为元素a的周期(也成为a的阶)，若不存在这样的看，则称a的周期为0或 $\infty$ ,元素a的周期记为ord(a)

子群的陪集
设G是群，H是G的子群，a、b $\in H$ ,若有 $h\in H$ ,使得a=bh，则称a合同于b（右模H），记为 $a\equiv b$ (右mod H)
群G在合同关系（右模H）下的一个等价类叫做H的一个右陪集
不同的子群会产生不同的右模合同关系，也就会得到不同的右陪集
任意两个右陪集或者相等，或者不相交

求所有右陪集的简单方法：
若G是一个有限群，求H的右陪集
1、首先，H本身就是一个；
2、任取 $a\not\in H$ 而a $\in G$ ,求aH，又得到一个；
3、任取 $a\not\in H$ $\cup$ aH而 $b\in G$ ,求bH，又得到一个。如此类推，因为G有限，最后必被穷尽，这样 $G=H\cup aH\cup bH\cup…$
在这里插入图片描述
拉格朗日定理：设G为有限群，H为G的任意子群，则|H|整除|G|

设H是群G的子群，若对G中的任意元素g，都有gH=Hg，则称H是G的正规子群
(1)、“平凡”子群H={1}和G都是G的正规子群；
(2)、Abel群的任意子群是正规子群
(3)、G的一个子群H是其正规子群if对任意的 $g\in G$ ,都有 $gHg^{-1}=H$ 即H只有一个共轭子群，就是H自己。
(4)、G的一个子群H是其正规子群if对任意的 $g\in G$ ,都有 $gHg^{-1}\subseteq H$ 。

H在G中的指数：
有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为(G:H),称为H在G中的指数。H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。

设G是有限群，元数为n，对任意 $a\in G$ ,由 $a^n=1$

设(G, $\cdot$ )是群，(K,*)是代数系统， $\sigma$ 是 $(G,\cdot)$ 到 $(K,*)$ 内的一个映射。如果对任意 $a、b\in G$ ,都有 $\sigma(a\cdot b)=\sigma(a)*\sigma(b)$ ，那么 $\sigma$ 叫做是G到K内的一个同态映射。
如果 $\sigma$ 是单射，则称为单同态映射；
如果 $\sigma$ 是满射，则称为满同态映射；
如果 $\sigma$ 是双射，则成为同构映射。

循环群生成元个数：
(1)、无限循环群(a)一共有两个生成元,a和a^-1
(2)、n元循环群(a)中,元素a^k是(a)的生成元的充要条件是(n,k)=1,所以(a)一共有 $\phi(n)$ 个生成元

同态核
设 $\sigma$ 是G到G‘上的一个同态映射，命N为G中所有变成G’中1’的元素g的集合，记为 $\sigma^{-1}(1')$ ,即 $N=\sigma^{-1}(1')=$ { $g\in G\mid \sigma(g)=1'$ }，称N为 $\sigma$ 的核。

环与域
在这里插入图片描述
设R是具有两种运算（分别记为加和乘的非空集合），如果以下条件成立：
(1)、R对于加法构成一个交换群
(2)、R对于乘法构成一个半群
(3)、乘法对加法满足分配律，即 $a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca$
则R叫做环
设R为环，如果R^*=R-{0}对于乘法构成一个交换群，则称R为域

设R是环，R中非零元a称为左零因子，（对应地有右零因子），如果存在非零元 $b\in R$ (对应地有 $c\in R$ ),使得ab=0（对应地有ca=0），a称为零因子，如果它同时为左零因子和右零因子，则称R为有零因子环。无零因子的环称为无零因子环。

设R是一个交换环，称R为整环（整区），如果R中有单位元，但没有零因子。
域是一种整环。
域中所有元素的加法周期都相同。

素域
一个域叫做素域，如果它不含真子域
域的特征（非零元素加法周期）或为零或为素数。
如果域的特征为0，则F包含一个与Q同构的素域；
如果域的特征为p，则F包含一个与F_p同构的素域，该域为有限域；
素域只有两种：Q和F_P

有限域
任何一个有限域的元素都形如 $p^n$ ,记为 $F_{p^n}$
有限域 $F_{p^n}$ 包含素域 $F_p$ 为其最小子域
有限域 $F_{p^n}$ 的特征为p
有限域的元数q必为 $p^n$ 的形式，其中p为其特征，如果同构的域看作是一样的，则对任意的 $q=p^n$ 恰有一个q元有限域