信息安全数学基础 第一章 整数的可除性

第一章 整数的可除性

1.1 整除的概念、欧几里得除法

定义 1.1.1

设$a,b$是任意的两个整数，其中$b\ne 0$。如果存在一个整数$q$使得等式
$$a=q\cdot b$$
成立，就称$b$整除$a$，或$a$被$b$整除，记作$b\mid a$，并把$b$叫做$a$的因数，$a$叫做$b$的倍数。反之，若$b$不能整除$a$，则记作$b\nmid a$。

整除显然有如下结论

• 0是任何非零整数的倍数。
• 1是任何整数的因数。
• 任何非零整数a是其自身的倍数，也是其自身的因数。

定理 1.1.1

设$a,b,c\ne 0$是三个整数。若$a\mid b,b\mid c$，则$a\mid c$。

定理 1.1.2/1.1.3

设$a,b,c\ne 0$是三个整数。若$a\mid b,a\mid c$，则对任意整数$s,t$，有$a\mid (s\cdot b+t\cdot c)$。

定理 1.1.4

定理 1.1.4是对定理 1.1.2/1.1.3的推广

设整数$c\ne 0$。若整数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$均是$c$的倍数，则对任意的整数$s_1,s_2,\cdots ,s_n$，有
$$c\mid (s_1\cdot a_1+s_2\cdot a_2+\cdots +s_n\cdot a_n)$$

定理 1.1.5

设$a,b$都是非零整数。若$a\mid b,b\mid a$，则$a=\pm b$。

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定义 1.1.2

设整数$n\ne 0,\pm 1$。如果除了$\pm 1,\pm n$之外，$n$再无其他的因数，那么则称$n$为素数（或质数，不可约数）。否则，则称$n$为合数。

定理 1.1.6

设$n$是一个正合数，$p$是$n$的一个大于1的最小正因数，则$p$一定是素数，且$p\le \sqrt{n}$。

定理 1.1.7

设$n$是正整数。如果对于所有小于$\sqrt{n}$的素数$p$，都有$p\nmid n$，则$n$是素数。

通过定理 1.1.7，我们可以找到一个寻找质数的确定性方法，这个方法也被称为Eratosthenes筛法。

同时，定理 1.1.7也提供了一个判断素数的方法。对于任意给定的整数$N$，设不大于$\sqrt{N}$的素数为 S = { p 1 , p 2 , ⋯   , p s } S=\{p_1,p_2,\cdots,p_s\} S={ p1​,p2​,⋯,ps​}。若对任意的$p_i\in S$，都有$p_i\nmid N$，则$N$是素数。

定理 1.1.8

素数有无穷多个。

证明：假设素数只有有穷个，设这有穷个素数集合为$p_1,p_2,\cdots ,p_n$，考虑整数$p$，如下所示
$$p=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1$$
假设$p$是合数，由定理 1.1.6，$p$必然有一个最小的素数因子$p_i$，即$p_i\mid p$。又因为$p_i\mid (p_1\cdot p_2\cdots p_n)$，由定理 1.1.3得，$p_i\mid (p-p_1\cdot p_2\cdots p_n)$，即$p_i\mid 1$，与$p_i>1$矛盾。因此素数有无穷多个。

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定理 1.1.9

（欧几里得除法）设$a,b$是两

个整数，其中$b>0$，则存在唯一得整数$q,r$，使得
$$a=q\cdot b+r,0\le r<b.$$

定义 1.1.3

在定理1.1.9中，$q$被称为$a$被$b$除所得的不完全商，$r$被称为$a$被$b$除所得的余数。

推论 1.1.3

在定理1.1.9的条件下，$b\mid a$的充要条件是$r=0$。

定义 1.1.4

设$x$是实数，则称$x$的整数部分为小于或等于$x$的最大整数，记作$[x]$，此时有
$$[x]\le x<[x]+1$$

在定义 1.1.4之下，定理 1.1.9中，有
$$q=[\frac{a}{b}],r=a-b\cdot [\frac{a}{b}]$$

定理 1.1.10

（广义欧几里得除法）设$a,b$是两个整数，其中$b>0$。则对任意整数$c$，存在唯一的整数$q,r$，使得
$$a=q\cdot b+r,c\le r<c+b.$$

1.2 整数的表示

定理 1.2.1

设$b$是大于1的整数，则每个正整数$n$可以唯一地被表示成
$$n=a_{k-1}{b}^{k-1}+a_{k-2}{b}^{k-2}+\cdots +a_0{b}^0$$
其中，$a_i$是整数且有$a_i<b$，首项系数$a_{k-1}\ne 0$。

因此，正整数$n$在$b$进制下的表示为$(a_{k-1}{a}_{k-2}\cdots a_0{)}_b$。

1.3 最大公因数与广义欧几里得除法

定义 1.3.1

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个正整数。对于整数$d$，若满足
$$d\mid a_1,d\mid a_2,\cdots ,d\mid a_n$$
则称$d$是$a_1,a_2,\cdots ,a_n$的公因数。特别地，若$a_1,a_2,\cdots ,a_n$不全为0，我们将$a_1,a_2,\cdots ,a_n$的所有公因数中最大的那一个称为最大公因数，记作$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$。

当$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=1$时，则称$a_1,a_2,\cdots ,a_n$互素或互质。

最大公因数的数学表示如下

• $d\mid a_1,d\mid a_2,\cdots ,d\mid a_n$
• 若$e\mid a_1,e\mid a_2,\cdots ,e\mid a_n$，则$e\mid d$

此时，$d$是集合 { s 1 ⋅ a 1 + s 2 ⋅ a 2 + ⋯ + s n ⋅ a n ∣ s 1 , s 2 , ⋯   , s n ∈ Z } \{s_1\cdot a_1+s_2\cdot a_2+\cdots+s_n\cdot a_n|s_1,s_2,\cdots,s_n \in Z\} { s1​⋅a1​+s2​⋅a2​+⋯+sn​⋅an​∣s1​,s2​,⋯,sn​∈Z}的最小正整数。

定理 1.3.1

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是n个不全为$0$的整数，则有$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$与$(|a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_n|)$有相同的公因数。

定理 1.3.2

设$b$是任意正整数，则$(0,b)=b$。

定理 1.3.3

设$a,b,c$是三个不全为零的整数。如果
$$a=q\cdot b+c$$
其中$q$是整数，则有$(a,b)=(b,c)$

由定理 1.3.3可以得到求解最大公因数的方法。

广义欧几里得除法/辗转相除法

根据定理1.3.3，若我们要求解$(a,b)$，其中$a\ge b$。则反复利用欧几里得除法即可
$$\begin{gathered} a=r_0,b=r_1 \\ {r}_0=q_1\cdot r_1+r_2 \\ {r}_1=q_2\cdot r_2+r_3 \\ ⋮ \\ {r}_{n-1}=q_n\cdot r_n+r_{n+1} \end{gathered}$$
经过有限步骤后，必然有$r_{n+1}=0$，此时根据定理 1.3.3，可以得到如下结论
$$(r_0,r_1)=(r_1,r_2)=\cdots =(r_n,r_{n+1})=r_n$$

定理 1.3.5

（贝祖定理）设$a,b$是两个任意的正整数，则存在整数$s,t$，使得
$$(a,b)=s\cdot a+t\cdot b$$
在广义欧几里得除法中回代即可得出贝祖定理的系数。

定理 1.3.8

$a,b$互素的充分必要条件是存在整数$s,t$，使得
$$(a,b)=s\cdot a+t\cdot b=1.$$

定理 1.3.9

设$a,b$是任意两个不全为0的整数，$d$是正整数，则$d$是整数$a,b$最大公因数的条件是

1. $d\mid a,d\mid b$
2. 若$e\mid a,e\mid b$，则$e\mid d$

证明：

”$\Leftarrow$“：在$d$为最大公因数的前提下显然有1成立。由贝祖定理可得，存在整数$s,t$使得
$$d=s\cdot a+t\cdot b$$
由定理 1.1.3可得，$e\mid (s\cdot a+t\cdot b)=d$。

“$\Rightarrow$”：1保证了$d$是$a,b$的公因数，2保证了$d$不小于$a,b$的所有公因数，因此$d$是$a,b$的最大公因数。

定理 1.3.10

设$a,b$是任意两个不全为0的整数，则有

1. 若$m$是任意正整数，则$(m\cdot a,m\cdot b)=m(a,b)$
2. 若非零整数$d$满足$d\mid a,d\mid b$，则$(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=\frac{(a,b)}{|d|}$。特别地，$(\frac{a}{(a,b)},\frac{b}{(a,b)})=1$

证明：只需证明1式即可，2可以由1直接推出

设$(m\cdot a,m\cdot b)=d^{\prime },(a,b)=d$。显然，$md$是$ma,mb$的因子，因此由最大公因数的数学定义，有
$$md\mid d^{\prime }$$
由贝祖定理可得，存在整数$s,t$，使得
$$s\cdot a+t\cdot b=d$$
两边同时乘以$m$
$$s\cdot (m\cdot a)+t\cdot (m\cdot b)=md$$
由定理 1.1.3可得，
$$d^{\prime }\mid m\cdot d$$
由定理 1.1.5可得
$$d^{\prime }=m\cdot d$$

定理 1.3.11

设$a,b,c$是三个整数，且$b,c\ne 0$，若$(a,c)=1$，则
$$(ab,c)=(b,c)$$
证明：设$d_1=(ab,c),d_2=(b,c)$。

由于$d_2\mid b,d_2\mid c$，所以$d_2\mid ab,d_2\mid c$，因此$d_2$是$ab,c$的公因子，所以有
$$d_2\mid d_1$$
由贝祖定理得，存在整数$s,t$，使得
$$(a,c)=s\cdot a+t\cdot c=1$$
两边同时乘以$b$
$$s\cdot (ab)+(tb)\cdot c=b$$
由于$d_1$是$ab,c$的公因子，所以有
$$d_1\mid b$$
因此
$$\begin{gathered} d_1\mid d_2 \\ {d}_1\mid d_2,d_2\mid d_1\Rightarrow d_1=d_2 \end{gathered}$$

定理 1.3.12

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n,c$为整数。如果$(a_i,c)=1,1\le i\le n$，则
$$(a_1,a_2,\cdots ,a_n,c)=1$$
使用定理 1.3.11容易证明

定理 1.3.13

设$a,b$和$u,v$都是不全为零的整数。如果
$$\begin{gathered} a=q\cdot u+r\cdot v \\ b=s\cdot u+t\cdot v \end{gathered}$$
其中，$q,r,s,t$是整数，且$q\cdot t-r\cdot s=1$，则$(a,b)=(u,v)$

和定理 1.3.10的证明思路类似

定理 1.3.14

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个整数，且$a_1\ne 0$。令
$$(a_1,a_2)=d_2,(d_2,a_3)=d_3,\cdots ,(d_{n-1},a_n)=d_n$$
则$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=d_n$，且存在整数$s_1,s_2,\cdots ,s_n$，使得
$$s_1\cdot a_1+s_2\cdot a_2+\cdots +s_n\cdot a_n=d_n$$

定理 1.3.15

（定理 1.3.9的推广）设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个不全为0的整数，$d$是正整数。则$d$是整数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$的最大公因数的充要条件是
$$\begin{gathered} (i)d\mid a_1,d\mid a_2,\cdots ,d\mid a_n \\ (ii)若e\mid a_1,e\mid a_2,\cdots ,e\mid a_n，则e\mid d \end{gathered}$$

引理 1.3.1

设$a,b$是两个正整数，则$2^a-1$被$2^b-1$除的最小非负余数是$2^r-1$，其中$r$是$a$被$b$除的最小非负余数。

引理 1.3.2

设$a,b$是两个正整数，则$2^a-1$和$2^b-1$的最大公因数是$2^{(a,b)}-1$

定理 1.3.16

设$a,b$是两个正整数，则正整数$2^a-1$和$2^b-1$互素的充要条件是$a,b$互素。

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1.4 整除的进一步性质与最小公倍数

定理 1.4.1

设$a,b,c$是三个整数，且$c\ne 0$。如果$c\mid ab,(a,c)=1$，则$c\mid b$。

定理 1.4.2

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个整数，$p$是素数。若$p\mid a_1{a}_2\cdots a_n$，则$p$一定整除某个整数$a_i$。

定义 1.4.1

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个整数。若$D$是这$n$个数的倍数，则称$D$是这$n$个数的公倍数，最小公倍数是最小的正整数公倍数，记作$[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$。

最小公倍数的数学表示如下。设$D=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$，则有
$$\begin{gathered} (1)a_i\mid D,1\le i\le n \\ (2)若a_i\mid E对任意1\le i\le n成立，则D\mid E \end{gathered}$$

定理 1.4.4

设$a,b$是两个互素的正整数，则
$$\begin{gathered} (1)若a\mid D,b\mid D，则a\cdot b\mid D \\ (2)[a,b]=a\cdot b \end{gathered}$$

定理 1.4.5

设$a,b$是两个正整数，则
$$\begin{gathered} (i)若a\mid D,b\mid D,则[a,b]\mid D \\ (ii)[a,b]\cdot (a,b)=a\cdot b \end{gathered}$$
证明：先证明$(ii)$

设$(a,b)=d$，则由定理可知$(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$。因此，由定理 1.4.4可知，$[\frac{a}{d},\frac{b}{d}]=\frac{a\cdot b}{d^2}$。进而得到，$[a,b]=\frac{a\cdot b}{d}$。

用$(ii)$来证明$(i)$

由$a\mid D,b\mid D$可得，$\frac{a}{d}\mid \frac{D}{d},\frac{b}{d}\mid \frac{D}{d}$。再由$\frac{a}{d},\frac{b}{d}$互素可得，$\frac{a}{d}\cdot \frac{b}{d}\mid \frac{D}{d}$，因此
$$\frac{a\cdot b}{d}\mid D\Rightarrow [a,b]\mid D$$

定理 1.4.6

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个整数，令
$$[a_1,a_2]=D_2,[D_2,a_3]=D_3,\cdots ,[D_{n-1},a_n]=D_n$$
则$[a_1,a_2,\cdots ,a_n]=D_n$

定理 1.4.7

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是正整数。如果$a_1\mid D,a_2\mid D,\cdots ,a_n\mid D$，则
$$[a_1,a_2,\cdots ,a_n]\mid D$$

1.5 整数分解

定理 1.5.1

给定正合数$n>1$。如果存在整数$a,b$使得
$$n\mid a^2-b^2,n\nmid a+b,n\nmid a-b$$
则$(n,a-b),(n,a+b)$都是$n$的真因数。

1.6 算术基本定理

定理 1.6.1

（算术基本定理）任一整数$n>1$均可表示为素数的乘积，且在不考虑乘积的顺序情况下，该表达式时唯一的，即
$$n=p_1{p}_2\cdots p_n,p_i是素数,p_i\le p_{i+1},1\le i\le n-1$$

定理 1.6.2

任一整数$n>1$可以唯一地表示为
$$\begin{gathered} n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_n^{{\alpha }_n} \\ {p}_i<p_{i+1},1\le i<n \\ {p}_i是素数 \end{gathered}$$

定理 1.6.3

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是$n$个正整数，且有素因数分解式
$$\begin{gathered} a_i=p_1^{{\alpha }_{i1}}{p}_2^{{\alpha }_{i2}}\cdots p_s^{{\alpha }_{is}} \\ {\alpha }_{ij}\ge 0,1\le i\le n,1\le j\le s \end{gathered}$$
则有
$$\begin{gathered} [a_1,a_2,\cdots ,a_n]=p_1^{max({\alpha }_{11},{\alpha }_{21},\cdots ,{\alpha }_{s1})}{p}_2^{max({\alpha }_{12},{\alpha }_{22},\cdots ,{\alpha }_{s2})}\cdots p_s^{max({\alpha }_{1n},{\alpha }_{2n},\cdots ,{\alpha }_{sn})} \\ (a_1,a_2,\cdots ,a_n)=p_1^{min({\alpha }_{11},{\alpha }_{21},\cdots ,{\alpha }_{s1})}{p}_2^{min({\alpha }_{12},{\alpha }_{22},\cdots ,{\alpha }_{s2})}\cdots p_s^{min({\alpha }_{1n},{\alpha }_{2n},\cdots ,{\alpha }_{sn})} \end{gathered}$$

1.7 素数定理

定义

不超过$x$的素数个数记为$\pi (x)$

定理 1.7.1

（切比雪夫不等式）设$x\ge 2$，则有
$$\frac{\ln 2}{3}\frac{x}{\ln x}<\pi (x)<6\ln 2\frac{x}{\ln x}$$

定理 1.7.2

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{\pi (x)}{x}}{\ln x}=1$$