前言
本文主要讲解递归、迷宫问题、八皇后问题
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目录
（一）递归应用场景
看个实际应用场景
迷宫问题：
假设一个迷宫，只有一个入口和一个出口。如果从迷宫的入口到达出口，途中不出现行进方向错误（方向错误：撞墙），则得到一条路线。
（二）递归的概念
简单的说: 递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量。递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。
（三）递归调用机制
回顾一下递归调用机制
打印问题
阶乘问题
使用图解方式说明了递归的调用机制
（1）开辟一个独立的空间，将递归的代码加载进去
（2）遇到递归方法时，先执行递归方法，不执行递归方法下面的方法。
（3）如果遇到递归的截止条件，然后开始执行每个栈中递归方法下面的代码
例如：遇到递归方法test()时，把if()…System…都加载到新开辟的独立栈中，然后继续执行递归方法test()，继续开辟新的栈，但是不执行System…方法；如果遇到递归的截止条件，然后开始执行每个栈中递归方法下面的代码，即System…，所以得到的结果就是n = 2，n = 3， n=4
代码：
package com.lzacking.recursion;
public class RecursionTest {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
// 通过打印问题，回顾递归调用机制
test(4);
int res = factorial(3);
System.out.println("res=" + res);
}
// 打印问题.
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
// 递归未完成之前，下面这句不会调用
System.out.println("n=" + n);
}
// 阶乘问题
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3
}
}
}
结果：
（四）递归能解决什么样的问题
递归用于解决什么样的问题
（1）各种数学问题如: 8 皇后问题 , 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题(google 编程大赛)
（2）各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等.
（3）将用栈解决的问题–>第归代码比较简洁
（五）递归需要遵守的重要规则
递归需要遵守的重要规则：
（1）执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
（2）方法的局部变量是独立的，不会相互影响, 比如 n 变量
（3）如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.
（4）递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现 StackOverflowError，死龟了:)
（5）当一个方法执行完毕，或者遇到 return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕
（六）递归-迷宫问题
（1）示意图
（2）代码：
简单说明：在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左，每次调用setWay，先下（下不可以），就右（右不可以），就上（上不可以），就左（左不可以），就回溯，将该点设置为3
package com.lzacking.recursion;
public class MiGong {
public static void main(String[] args) {
// 先创建一个二维数组，模拟迷宫
// 地图
int[][] map = new int[8][7];
// 使用1 表示墙
// 上下全部置为1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
// 左右全部置为1
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
// 设置挡板, 1 表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
// map[1][2] = 1;
// map[2][2] = 1;
// 输出地图
System.out.println("地图的情况");
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
// 使用递归回溯给小球找路
setWay(map, 1, 1);
// 另外一种策略走过的路径
// setWay2(map, 1, 1);
// 输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归
System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况");
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
// 使用递归回溯来给小球找路
// 说明
// 1. map 表示地图
// 2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
// 3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
// 4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
// 5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
/**
*
* @param map 表示地图
* @param i 从哪个位置开始找
* @param j
* @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false
*/
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) {
// 通路已经找到ok
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) {
// 如果当前这个点还没有走过
// 按照策略 下->右->上->左 走
map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
if (setWay(map, i + 1, j)) {
// 向下走
System.out.print("i = " + i);
// i = 6 i = 5 i = 4 i = 3 i = 2 i = 1
// 遇到递归的截止条件，然后开始执行每个栈中递归方法下面的代码，return true;
return true;
} else if (setWay(map, i, j + 1)) {
// 向右走
return true;
} else if (setWay(map, i - 1, j)) {
// 向上
return true;
} else if (setWay(map, i, j - 1)) {
// 向左走
return true;
} else {
// 说明该点是走不通，是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else {
// 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
return false;
}
}
}
// 修改找路的策略，改成 上->右->下->左
public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) {
// 通路已经找到ok
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) {
// 如果当前这个点还没有走过
// 按照策略 上->右->下->左
map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
if (setWay2(map, i - 1, j)) {
// 向上走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j + 1)) {
// 向右走
return true;
} else if (setWay2(map, i + 1, j)) {
// 向下
return true;
} else if (setWay2(map, i, j - 1)) {
// 向左走
return true;
} else {
// 说明该点是走不通，是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else {
// 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
return false;
}
}
}
}
下->右->上->左策略的结果：
（七）八皇后问题
（1）八皇后问题介绍
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法(92)。
（2）八皇后问题算法思路分析
- 第一个皇后先放第一行第一列
- 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK， 如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适
- 继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
- 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到.
- 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤
说明：
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题.
arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
对应 arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第 i+1 个皇后，放在第 i+1行的第 val+1 列
（3）代码
package com.lzacking.recursion;
public class Queue8 {
// 定义一个max表示共有多少个皇后
int max = 8;
// 定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
static int count = 0;
static int judgeCount = 0;
public static void main(String[] args) {
// 测试一把 ， 8皇后是否正确
Queue8 queue8 = new Queue8();
queue8.check(0);
System.out.printf("一共有%d解法", count);
System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w
}
// 编写一个方法，放置第n个皇后
// 特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
private void check(int n) {
if (n == max) {
// n = 8 , 其实8个皇后就既然放好，第一个皇后为n = 0，最后一个皇后n = 7
print();
return;
}
// 依次放入皇后，并判断是否冲突
for (int i = 0; i < max; i++) {
// 先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
array[n] = i;
// 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
if (judge(n)) {
// 不冲突
// 接着放n + 1个皇后, 即开始递归
check(n + 1);
}
// 如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
// 比如把第二个皇后放在第二行的第一列，会冲突，则if语句不执行，执行for循环，i++，即i=2， 第二个皇后放在第二行的第二列
}
}
// 查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
/**
*
* @param n 表示第n个皇后
* @return
*/
private boolean judge(int n) {
judgeCount++;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 说明
// 1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
// 2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
// n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
// Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
// 3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
return false;
}
}
return true;
}
// 写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
private void print() {
count++;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}
结果：
0 4 7 5 2 6 1 3
0 5 7 2 6 3 1 4
0 6 3 5 7 1 4 2
0 6 4 7 1 3 5 2
1 3 5 7 2 0 6 4
1 4 6 0 2 7 5 3
1 4 6 3 0 7 5 2
1 5 0 6 3 7 2 4
1 5 7 2 0 3 6 4
1 6 2 5 7 4 0 3
1 6 4 7 0 3 5 2
1 7 5 0 2 4 6 3
2 0 6 4 7 1 3 5
2 4 1 7 0 6 3 5
2 4 1 7 5 3 6 0
2 4 6 0 3 1 7 5
2 4 7 3 0 6 1 5
2 5 1 4 7 0 6 3
2 5 1 6 0 3 7 4
2 5 1 6 4 0 7 3
2 5 3 0 7 4 6 1
2 5 3 1 7 4 6 0
2 5 7 0 3 6 4 1
2 5 7 0 4 6 1 3
2 5 7 1 3 0 6 4
2 6 1 7 4 0 3 5
2 6 1 7 5 3 0 4
2 7 3 6 0 5 1 4
3 0 4 7 1 6 2 5
3 0 4 7 5 2 6 1
3 1 4 7 5 0 2 6
3 1 6 2 5 7 0 4
3 1 6 2 5 7 4 0
3 1 6 4 0 7 5 2
3 1 7 4 6 0 2 5
3 1 7 5 0 2 4 6
3 5 0 4 1 7 2 6
3 5 7 1 6 0 2 4
3 5 7 2 0 6 4 1
3 6 0 7 4 1 5 2
3 6 2 7 1 4 0 5
3 6 4 1 5 0 2 7
3 6 4 2 0 5 7 1
3 7 0 2 5 1 6 4
3 7 0 4 6 1 5 2
3 7 4 2 0 6 1 5
4 0 3 5 7 1 6 2
4 0 7 3 1 6 2 5
4 0 7 5 2 6 1 3
4 1 3 5 7 2 0 6
4 1 3 6 2 7 5 0
4 1 5 0 6 3 7 2
4 1 7 0 3 6 2 5
4 2 0 5 7 1 3 6
4 2 0 6 1 7 5 3
4 2 7 3 6 0 5 1
4 6 0 2 7 5 3 1
4 6 0 3 1 7 5 2
4 6 1 3 7 0 2 5
4 6 1 5 2 0 3 7
4 6 1 5 2 0 7 3
4 6 3 0 2 7 5 1
4 7 3 0 2 5 1 6
4 7 3 0 6 1 5 2
5 0 4 1 7 2 6 3
5 1 6 0 2 4 7 3
5 1 6 0 3 7 4 2
5 2 0 6 4 7 1 3
5 2 0 7 3 1 6 4
5 2 0 7 4 1 3 6
5 2 4 6 0 3 1 7
5 2 4 7 0 3 1 6
5 2 6 1 3 7 0 4
5 2 6 1 7 4 0 3
5 2 6 3 0 7 1 4
5 3 0 4 7 1 6 2
5 3 1 7 4 6 0 2
5 3 6 0 2 4 1 7
5 3 6 0 7 1 4 2
5 7 1 3 0 6 4 2
6 0 2 7 5 3 1 4
6 1 3 0 7 4 2 5
6 1 5 2 0 3 7 4
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
一共有92解法一共判断冲突的次数15720次
关于八皇后问题的动画，可以参考如下链接
八皇后问题动画