动态规划系列之「leetcode322.零钱兑换」

给定不同面额的硬币coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

零钱兑换问题符合最优子结构，比如你想求 amount = 11 时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出 amount = 10 的最少硬币数（子问题），你只需要把子问题的答案加一（再选一枚面值为 1 的硬币）就是原问题的答案。因为硬币的数量是没有限制的，所以子问题之间没有相互制，是互相独立的。

如何列出正确的状态转移方程？

首先要明确我们的目的：用最少的硬币组成目标金额

确定 base case

这个很简单，显然目标金额 amount 为 0 时算法返回 0，因为不需要任何硬币就已经凑出目标金额了。
确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。

由于硬币数量无限，硬币的面额也是题目给定的，只有目标金额会不断地向 base case 靠近，所以唯一的「状态」就是目标金额 amount。
确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。

目标金额为什么变化呢，因为你在选择硬币，你每选择一枚硬币，就相当于减少了目标金额。所以说所有硬币的面值，就是你的「选择」。
明确 dp 函数/数组的定义。

这里直接一步到位，采用自底向上的做法，数组dp[amount]代表当目标金额为amount时需要的最少硬币数（即最终的解）。

状态转移方程为：

$\begin{cases}0, \quad n = 0 \\-1, \quad n<0 \\min\{ dp(n-coin) + 1 \quad | \quad coin \in coins \},\quad n>0 \end{cases}$

dp(n) 的定义：输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 的最少硬币数量。

PS：为啥 dp 数组初始化为 amount + 1 呢，因为凑成 amount 金额的硬币数最多只可能等于 amount（全用 1 元面值的硬币），所以初始化为 amount + 1 就相当于初始化为正无穷，便于后续取最小值。

import java.util.*;

class Solution {
    
    
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    
    
        int[] dp = new int[amount+1];
        Arrays.fill(dp, amount+1);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i <= amount; i++){
    
    
            for(int coin:coins){
    
    
                if(i-coin >= 0){
    
    
                    dp[i] = Math.min(dp[i-coin]+1, dp[i]);
                }
            }
        }
        return (dp[amount] == amount+1) ? -1 : dp[amount];
    }
}

时间复杂度：O(kN)，k为硬币面值的种类数

空间复杂度：O(N)

动态规划系列之「leetcode322.零钱兑换」

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