C语言实现三角分解（Doolittle）法解线性方程组

问题描述

假设$n$阶线性代数方程组系数矩阵满足所有顺序主子式非奇异，则有$A=LR$,其中$L,R$分别是下三角和上三角阵，而且$L$或$R$的对角元素给定后，其分解是唯一的。按照这样的逻辑求解方程组比较容易。
取$L$为单位下三角阵，$A=LR$,可以表示为：
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ & & & \\ a_{n1}& a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ l_{21}& 1& 0& 0\\ ⋮& ⋮& 1& 0\\ l_{n1}^{}& l_{n2}& \cdots & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1n}\\ 0& r_{22}& \cdots & r_{2n}^{}\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& r_{nn}\end{array}\right]$$

算法思想

比较等号两边第$i$行第$j$列的元素，可知
$$a_{ij}=\sum _{k=1}^n{l}_{ik}{r}_{kj}$$
注意到，$l_{i,i+1}=\cdots =l_{in}=r_{j+1,j}=\cdots =r_{nj}=0$，则上式表示为：
$$a_{ij}=\sum _{k=1}^i{l}_{ik}{r}_{kj}=\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{r}_{kj}+r$$
从而，
$$r_{ij}=a_{ij}-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{r}_{kj},j=1,2,\cdots ,n$$
当$j=i+1,i+2\cdots n$时，
$$a_{ji}=\sum _{k=1}^i{l}_{jk}{r}_{ki}=\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{jk}{r}_{ki}+l_{ji}{r}_{ii}$$
从而，
$$l_{ji}=\frac{(a_{ji}-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{jk}{r}_{ki}^{})}{r_{ii}},j=i+1,\cdots ,n$$
根据以上描述，我们可以将问题表示为：$Ax=LRx=b$
可以分两步进行求解
$$\{\begin{array}{l}Ly=b\\ Rx=y\end{array}$$
先求出$y$，在求出$x$，其计算公式为
$$\{\begin{array}{l}{y}_i=b_i-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{y}_k,i=1,2\cdots ,n\\ x_i=\frac{(y_i^{}-\sum _{k=i+1}^n{r}_{ik}{x}_k)}{r_{ii}},i=n,n-1,\cdots 1\end{array}$$

测试数据

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3=4\\ x_1+3x_2+2x_3=6\\ x_1+2x_2+2x_3=5\end{array}$$
先将系数矩阵$A$按照如上步骤进行$LR$分解
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1/2& 1& 0\\ 1/2& 3/5& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 0& 5/2& 3/2\\ 0& 0& 3/5\end{array}\right]$$

C语言代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MaxSize 100
double A[MaxSize][MaxSize];
double B[MaxSize];
double L[MaxSize][MaxSize];
double R[MaxSize][MaxSize];
double X[MaxSize];
double Y[MaxSize];
int n;//矩阵尺寸大小

void InitMatrix()
{
    
    
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
     for(j=0;j<n;j++)
     {
    
    
        if(i==j)
        {
    
    
            L[i][j]=1;
            R[i][j]=A[i][i];
        }
        if(i<j)
            L[i][j]=0;
        if(i>j)
            R[i][j]=0;
     }
}
void Doolittle()
{
    
    
    int i,j,k;
    for(k=0;k<n;k++)
    {
    
    
      for(i=k;i<n;i++)//此处j是从i开始循环，若从0
      {
    
    //开始循环，那么L上半部分非0
        double sum1=0;
        for(j=0;j<k;j++)
         sum1=sum1+L[k][j]*R[j][i];
         R[k][i]=A[k][i]-sum1;
      }
       for(i=k+1;i<n;i++)//此处j是从i+1开始循环，若从0
      {
    
    
        double sum2=0;
        for(j=0;j<k;j++)
         sum2=sum2+L[i][j]*R[j][k];
         L[i][k]=(A[i][k]-sum2)/R[k][k];
      }
    }

     for(i=0;i<n;i++)
      {
    
    
        double sum3=0;
        for(k=0;k<i;k++)
            sum3=sum3+L[i][k]*Y[k];
        Y[i]=B[i]-sum3;
      }
    for(i=n-1;i>=0;i--)
      {
    
    
        double sum4=0;
        for(k=i+1;k<n;k++)
            sum4=sum4+R[i][k]*X[k];
        X[i]=(Y[i]-sum4)/R[i][i];
      }
}

void input()
{
    
    
    int i,j;
    printf("请输入待分解矩阵A：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        scanf("%lf",&A[i][j]);
    printf("请输入向量B：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&B[i]);
}
void print()
{
    
    
    int i,j;
    printf("下三角矩阵L：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
    {
    
    
        for(j=0;j<n;j++)
        printf("%lf   ",L[i][j]);
        printf("\n");
    }
    printf("上三角矩阵L：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
    {
    
    
      for(j=0;j<n;j++)
      printf("%lf   ",R[i][j]);
      printf("\n");
    }
    printf("\n");
    printf("B向量：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        printf("%lf\n",B[i]);
    printf("Y向量：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        printf("%lf\n",Y[i]);
    printf("X向量：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
X[i]);

}

int main()
{
    
    
    void InitMatrix();
    void Doolittle();
    void input();
    void print();
    printf("请输入矩阵行数：\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("\n");
    input();
    InitMatrix();
    Doolittle();
    print();
    return 0;
}

实验结果