雅可比（Jacobi）迭代法解线性方程组的Matlab实现

代码

迭代法解线性方程组的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则，有不同的计算规则得到不同的迭代法。

本文是常用的迭代法之一：Jacobi迭代法解线性方程组的matlab实现。

关于Jacobi迭代法的具体内容和算法见《数值计算方法》—丁丽娟，P65-66

书中算法如下：

程序中所用算法和书中的一致。

Matlab代码如下。

//  输入量：
A: 线性方程组的系数矩阵（n*n，非奇异）
b: 方程组右边的常数项列向量
n: 方程组维数
x0: 初始值
tol: 精度上限值
N:  最大迭代次数

//迭代终止标准
已达精度上限值或者到达最大迭代次数

//输出量：
x：线性方程组的解

// An highlighted block
function x=jacobi_fun(A,b,n,x0,tol,N)
x=zeros(n,1);      % 给x赋值
k=0;
while k<N
    for i=1:n
     x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i);
    end
    if norm(x-x0)<tol
        break;
    end
    x0=x;
    k=k+1;

    disp(['when k=',num2str(k)])
    disp('x=');
    disp(x);                       %输出计算的中间结果
end

if k==N
    disp('迭代次数已到达上限!');
end
disp(['迭代次数 k=',num2str(k)])

end

运行

运行示例的线性方程组是《数值计算方法》—丁丽娟 P-66 例一

//  Command Window 中输入
>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];
>> b=[72;83;42];
>> n=3;
>> x0=[0;0;0];
>> tol=1e-6;
>> N=500;

// 输入后，调用函数
>> x=jacobi_fun(A,b,n,x0,tol,N)

运行结果如下：

可看出迭代16次之后得到精确值。

若输入N=9，运行结果如下：

迭代的中间过程其中一小部分见下图：

注： 判断时否到达精度上限用的是范数，此处选用2范数，实际上选用1范数，inf范数均可，若想选用其他范数，调用norm(A,p)即可。