线性代数的一个核心问题就是线性方程组的求解问题，包括：解的存在性（是否有解），解的唯一性（有解，是无穷解还是唯一解）。通常将线性方程组写成AX=b的形式，其中，A为系数矩阵，X为未知数（向量的形式），b表示目标向量，举例如下：
求解上述线性方程组，常采用高斯消元法，将AX=b写成增广矩阵的形式，采用初等行变化得到上三角矩阵，从而判断，方程组解的存在性以及是否为唯一解。
根据高斯消元法，采用C语言编程求解线性方程组，程序功能为：要求用户输入系数矩阵的大小，接着输入系数矩阵和目标向量，然后给出用户输入的线性方程组的增广矩阵形式，若方程无解，则输出方程无解；若方程有解，输出行化简后的上三角矩阵形式，并说明是有唯一解还是无穷解；程序可以实现线性方程组的循环输入，直到用户输入q退出！
程序源代码如下，程序中含有7个子函数，最为重要的是gauss_elimination()和exchange_row()这两个子函数，其功能实现了增广矩阵的行化简，这两个矩阵的参数均是指针数组，所以行交换其实是通过交换指针指向来实现的，不必交换整行整列，提高了函数的效率，另外exchange_row()是将含最大主元元素的行提到首行位置，这样可以检测主元位置是否为0，且能提高数值计算的精度。
/*======================================================
========================================================*/
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define ROW 100
#define COL 100
void get_coefficient(double [][COL], int, int);
void get_vector(double [], int);
void create_Ab(double [][COL], double [], int, int);
void show_matrix(double [][COL], int, int);
int guass_elimination(double *[ROW], int, int);
void exchange_row(double *[ROW], int, int);
void show_solution(double *[ROW], int, int);
int main(void)
{
double Receptacle[ROW][COL];
double Vector[ROW];
double *Ab_pointer[ROW];
int row, col, i, result;
printf("Enter the coefficient matrix's size (less than %d * %d): ", ROW, COL-1);
while(scanf("%d%d", &row, &col)==2){
get_coefficient(Receptacle, row, col);
get_vector(Vector, row);
create_Ab(Receptacle, Vector, row, col);
printf("The linear equations in the form of augmented matrix as follow:\n");
show_matrix(Receptacle, row, col+1);
for(i=0;i<ROW;i++)
Ab_pointer[i] = Receptacle[i];
result = guass_elimination(Ab_pointer, row, col+1);
if(result==1){
printf("There are infinite solutions for the linear equations!\n");
show_solution(Ab_pointer, row, col+1);
}
else if(result==0){
printf("There is only one solution for the linear equations!\n");
show_solution(Ab_pointer, row, col+1);
}
else
printf("There is no solution for the linear equations!\n");
printf("Enter the coefficient matrix's size (less than %d * %d, q to quit): ", ROW, COL-1);
}
printf("Bye!\n");
return 0;
}
void get_coefficient(double matrix[ROW][COL], int row, int col)
{
int i, j;
printf("Enter the coefficient (%d * %d):\n", row, col);
for(i=0;i<row;i++)
for(j=0;j<col;j++)
scanf("%lf", &matrix[i][j]);
return;
}
void get_vector(double vector[ROW], int n)
{
int i;
printf("Enter the vector (size is %d):\n", n);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%lf", &vector[i]);
return;
}
void create_Ab(double matrix[ROW][COL], double vector[ROW], int row, int col)
{
int i;
for(i=0;i<row;i++)
matrix[i][col] = vector[i];
return;
}
void show_matrix(double matrix[ROW][COL], int row, int col)
{
int i, j;
for(i=0;i<row;i++){
for(j=0;j<col;j++)
printf("%-8.3f", matrix[i][j]);
putchar('\n');
}
return;
}
int guass_elimination(double *matrix[ROW], int row, int col)
{
int result, i, j, k;
double coe;
for(i=0;i<row-1;i++){
exchange_row(matrix, i, row);
if(fabs(*(matrix[i]+i))<0.00001)
continue;
for(j=i+1;j<row;j++){
coe = *(matrix[j]+i) / *(matrix[i]+i);
for(k=i;k<col;k++)
*(matrix[j]+k) -= coe * *(matrix[i]+k);
}
}
if(col-1>row)
result = 1;
else if(col-1==row){
if(fabs(*(matrix[row-1]+row-1))>0.00001)
result = 0;
else{
if(fabs(*(matrix[row-1]+row))>0.00001)
result = -1;
else
result = 1;
}
}
else{
result = 0;
for(i=0;i<row;i++)
if(fabs(*(matrix[i]+col-2))<0.00001&&fabs(*(matrix[i]+col-1))>0.00001){
result = -1;
break;
}
}
return result;
}
void exchange_row(double *matrix[ROW], int flag, int row)
{
int i;
double *temp;
for(i=flag+1;i<row;i++)
if(fabs(*(matrix[flag]+flag))<fabs(*(matrix[i]+flag))){
temp = matrix[flag];
matrix[flag] = matrix[i];
matrix[i] = temp;
}
return;
}
void show_solution(double *matrix[ROW], int row, int col)
{
int i, j;
for(i=0;i<row;i++){
for(j=0;j<col;j++)
printf("%-8.3f", *(matrix[i]+j));
putchar('\n');
}
return;
}
运行结果如下：
上述运行结果验证了3种情况，均正确，如无解直接给出结论，若有解（唯一解或无穷解），给出相应的上三角矩阵和相应的结论！