一、公式介绍

牛顿迭代法基本公式，迭代出 ${x^{(k + 1)}}$

${x^{(k + 1)}} = {x^{(k)}} - \frac{{f({x^{(k)}})}}{{f'({x^{(k)}})}}$

面对非线性方程组问题，将上式变形

${x^{(k + 1)}} = {x^{(k)}} - F'{(x)^{ - 1}}F(x)$

其中 $F'(x)$ 为：

$F'(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial y}}} \end{array}} \right|$

注：这里面的 ${x^{(k + 1)}}$ 不再时代表一个值，而是代表关于 $(x,y)$ 变量的一个矩阵， $F(x)$ 同理，代表着关于x,y的一个公式矩阵 $F(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x,y)}\\ {g(x,y)} \end{array}} \right|$ ，（ $F(x)$ 内x，与 ${f(x,y)}$ 、 ${g(x,y)}$ 内x不同！）

二、应用环境

牛顿迭代法主要用于求解在面对未知变量，计算困难，我们无法求出精确解时，使用的方法。可以利用特殊迭代的方式进行求解近似解。

三、C++代码

实例说明

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2x - y + 0.5}\\ {{x^2} + 4{y^2} - 4} \end{array}} \right.$

C++编译环境

程序编译环境：vs 2013

C++代码

#include<iostream>
#include<armadillo>
using namespace std;
using namespace arma;

//牛顿迭代法解非线性方程组
//例题：x^2-2x-y+0.5
//      x^2+4y^2-4
double f(double x0,double y0)
{
	return pow(x0, 2) - 2 * x0 - y0 + 0.5;
}
double g(double x0, double y0)
{
	return pow(x0, 2) + 4 * pow(y0, 2) - 4;
}
double fx(double x, double y)    //记录f求x偏导值
{
	double w=2 * x - 2;
	return w;
}

double fy(double x, double y)    //记录f求x偏导值
{
	double w = -1;
	return w;
}

double gx(double x, double y)    //记录f求x偏导值
{
	double w = 2 * x;
	return w;
}

double gy(double x, double y)    //记录f求x偏导值
{
	double w = 8 * y;
	return w;
}

void join(mat A)      //输入矩阵.x系数
{
	cout << "请输入未知数x个数" << endl;
	int n;
	cin >> n;
	for (int w = 1; w <= n; w++)
	{
		cout << "请输入第" << w << "行的值" << endl;
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			cout << "请输入第" << i + 1 << "个数据的值" << endl;
			double temp;
			cin >> temp;
			A << temp;
		}
		A << endr;
	}
	
}

void ND(double x0,double y0)   //牛顿迭代法实现,x0,y0为初始值
{
	int n=0;
	double y1;
	mat T1;
	mat T;
	double x1;
	do
	{
		n++;
		y1 = y0;
		x1 = x0;
		mat temp;
		temp << fx(x0, y0) << fy(x0, y0) << endr
			<< gx(x0, y0) << gy(x0, y0) << endr;
		mat b;
		b << f(x0, y0) << endr
			<< g(x0, y0) << endr;

		T << x0 << endr
			<< y0 << endr;
		//mat r = inv(temp);
		T = T - inv(temp)*b;
		x0 = T(0, 0);
		y0 = T(1, 0);
	} while (abs(x0 - x1)> 1e-5||abs(y0 - y1)>1e-5);
	cout << "共迭代" << n << "次" << endl;
	cout << "最终结果为：" << x0 << "    " << y0 << endl;
}
void main()
{
	ND(2, 0.25);
}

运行结果

特别注意

由于此算法有矩阵的计算，为了使代码更加简洁，高效，上述代码调用了armadillo库，进行相应的矩阵计算（如果没有配置armadillo库，编译时不会通过，会报错！）

解决方法

在以下链接文章中，详细说明了如何配置armadillo库以及使用，便于读者可以解决上述c++代码编译不通过的问题。同时，armadillo库也是一个计算矩阵非常方便的库文件，在其它数学矩阵计算方面也有很好的应用。

链接：

http://t.csdn.cn/3WF0I

牛顿迭代法解非线性方程组（附C++代码）