信号课组（一） 信号与系统 Review 1 信号与系统综述

1. 信号的能量和功率

信号主要分为两种两种，连续信号和离散信号，连续信号采样可以得到离散信号，离散信号也可以恢复成为连续信号。

关于信号本身最重要的概念是能量和功率。
对于电功率一般定义为：
$$\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}p(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{1}{R}{v}^2\mathrm{d}t$$
这个例子给出了我们定义能量和功率的一个思路。由于信号可能是复数，通过平方将为我们提供极大的便利。

随后考虑去掉常数，更简单地定义一个信号的能量和功率。

2. 自变量变换

2.1. 时移和时变

高中考点：函数的平移和伸缩变换综合应用

一般地讨论：

• Q1：如何绘制$Ax(at+b)$：先向左平移$b$，然后将横坐标变为原来的$\frac{1}{a}$，纵坐标变为原来的$A$倍。或者先压缩，再平移$\frac{b}{a}$
• Q2（DSP）：通过$x[n]$，构成$x[an]$中可能出现无定义或者信息损失。$a\in \mathbb{N},|a|>1$时，比如$a=2$，此时奇数无定义，如果无定义处补齐称为内插。若$|a|<1$，比如$a=\frac{1}{2}$时，信息发生损失，称为抽取。

2.2. 周期性

基波周期（Fundamental Period）：最小正周期

思考

• Q1：无基波周期的周期函数？Dirichlet函数
• Q2：周期函数相加不一定是周期函数，比如$\frac{T_1}{T_2}=\pi$，由于无最小公倍数，加和所得函数的周期将趋近无穷大。
• Q3：$f$和$g$是$T$为基波周期的函数，相加所得函数的可能周期为$\frac{T}{m},m\in \mathbb{N}$
• Q4：$f$和$g$分别是$T$和$2T$为基波周期的函数，相加所得函数的可能周期为$\frac{2T}{2m+1},m\in \mathbb{N}$

  1. 对两个函数可以构造出更小的基波周期的函数，我们可以反向理解。我们可以通过先构造$\frac{2T}{3}$为基波周期的$H$函数，然后同$f$相加，就可以得到$g$
  2. 分母不能为偶数，否则利用如上的方法，上下约分之后，得到$g$的周期为$T$，这是矛盾的。

2.3. 奇偶性

E v { x ( t ) } = △ x ( t ) + x ( − t ) 2 O d { x ( t ) } = △ x ( t ) − x ( − t ) 2 \mathrm{Ev}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)+x(-t)}{2}\\ \mathrm{Od}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)-x(-t)}{2} Ev{ x(t)}△ 2x(t)+x(−t)​Od{ x(t)}△ 2x(t)−x(−t)​

$\delta$函数为偶函数。

3. 典型信号与重要的奇异信号

3.1. 指数信号和正弦信号

复指数在工程上不存在，但为数学的分析提供了便利。

3.2. 单位阶跃信号

• 是冲激函数的积分。
• 用于截取正向的信号

3.3. 单位冲激信号

极限定义比较直观但数学上不易使用。利用Dirac定义和分布函数定义更易使用。
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1 \\ \delta (t)=0,(t\ne 0) \end{gathered}$$

4. 基本的系统性质

4.1. 因果性

不依赖未来情况，物理可实现的系统均具有因果性，表示如下：
$$y(t)=\sum _{i=0}^{n}x(t-t_i)$$

其中$t_i\ge 0$则称为因果系统

例 $y(t)=x(\frac{t}{3})$不是因果系统，$t<0$时，系统取决于未来的情况。$y(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$当导数通过右导数定义时，就是非因果的。

4.2. 记忆性

记忆性可以看成非因果系统的扩充。

这句话反过来说，非记忆系统一定是因果系统。

• 按照定义，非因果系统也称为记忆系统
• 通常，利用导数定义的系统都会有记忆性（通过积分，可以把过去的情况呈现在当下）
• 实际系统中，记忆直接与能量存储相关

4.3. 线性

齐次性+可加性

线性的证明通常判别两个不同如数的输出是否可以按权加和输出。

反例：
$$y(t)=x(t)+1$$
不是一个时不变系统。但是除去常数部分之后，具有线性，因而称为增量线性系统

例：
$$y(t)=2y(1)+x(t)$$

代入$t=1$，可求$y(1)=-x(1)$，从而使得原式化简为：
$$y(t)=-x(1)+x(t)$$
此例是一个线性系统。同上一例不同的是，看似是常数的$x(1)$实际上是与输入函数相关的。

与输入关联和非关联的输出成分，分别对应后面讲到的

4.4. 时不变性

输入和输出的时移特征相同。
这一点说明如果内层有使其加倍的，那么将成为时变的，因为时移也被再映射了。

比如：$y(t)=x(2t)$就是一个时变系统？
$$y(t-t_0)=x(2(t-t_0))=x(2t-2t_0)\ne x(2t-t_0)$$

4.5. 稳定性

使系统倾向于收束。

稳定性判据：BIBO

也可以利用微分方程定性分析稳定。

4.6. 可逆性

可以建立输入和输出的一一对应

• 值域不重复（可求反函数）
• 不丢失定义域（原系统利用内插进行定义）

对应这两个问题，有以下两个例题：

• $反例1$ $y(t)=x(t)+x(1-t)$有$y(0)=y(1)=x(0)+x(1)$
• $反例2$ $y(t)=x(2t)$是可逆的，$y[n]=x[2n]$是不可逆的。这个离散系统在映射过程当中发生了数据丢失。

另一个略显复杂的例题：
$$y(t)=x(t)(a+\cos (\omega t))$$
首先，无论$x$是什么，只要$|a|\le 1$则一定会出现多个零点，反函数称为多值函数。
分析$a$足够大时，才能使得波动的影响比较小，输出与输入近似为线性，使得其一 一对应。