【算法】Notes for Chapter 1

• 【最大公约数】两个不全为0的非负整数m和n的最大公约数记为$gcd(m,n)$，代表能够整除m和n的最大正整数。
• 【$Eucli{d}^{\prime }s$ $algorithm$】重复利用下列等式$gcd(m,n)=gcd(n,$$m$ $mod$ $n)$
• 【算法】
  
• 【sieve of Eratosthenes】产生一个不大于给定整数n的连续质数序列，埃拉托色尼筛法，理念是筛去2的倍数，3的倍数…直到没有可以消去的元素。考虑其中倍数仍未消去的最大整数p，第一个应该考虑的数应该是$p^2$(满足条件$p^2\le n$，等价于p不会大于$n^{1/2}$向下取整的值)，因为p更小的倍数2p，3p直到p(p-1)都在前面的筛去过程中已经筛去了。
• 【算法】
  
  
• 如果一个排序算法保留了等值元素在输入中的相对顺序，就说该算法是稳定的(Stable). 一个输入序列中包含两个相等的元素，对应位置是$i,j$，并且有$i<j$，整个序列排序完成后，上述两个元素的位置是$i^{\prime },j^{\prime }$，此时同样有$i^{\prime }<j^{\prime }$. 一般来说，将相隔很远的键进行交换的算法虽然不稳定，但速度往往很快，例如希尔排序。
• 如果一个算法不需要额外的存储空间(个别的存储单元可以允许)，我们就说它是在位的(In-Place).
• 【旅行商问题(Traveling salesman problem,TSP)】就是找出访问n个城市的最短路径，并且保证每个城市只访问一次，其主要应用包括路径规划、电路板和超大规模集成电路的制造、X射线晶体学以及基因工程等。
• 【图着色问题(Graph Coloring Problem)】就是要用最少种类的颜色为图中的顶点着色，并且保证任何邻接的两个顶点异色，该问题源于很多现实应用，例如安排事务进度：如果用顶点代表事务，事务之间以边相连，当且仅当独立事务无法排定同时发生时，图着色问题的解才能生成一张最优的日程表。
• 【数组Array】是n个相同数据类型的元素构成的序列，它们连续存储在计算机的存储器中。无论位于数组的什么位置，都能够用相同的常量时间访问其中的元素。数组可以用于实现字符串，字符串是字母的序列，并且以一个特殊字符来标记字符串的结束。
• 【链表Linked List】是零个或多个节点node构成的序列，每个节点包含两类信息，一是数据，二是一个或多个称为指针Pointer的链接，指向链表中的其他元素(我们用称为null的特殊指针表明某个节点没有指向别的节点)。和数组不同，访问单链表中元素所需的时间依赖于元素位置，但插入和删除效率很高，只需要改变链接的指针，并且也无需事先分配存储空间。
• 【表头Header】链表常常从一个称为表头的特殊节点开始，其中包含着有关链表的信息，例如链表当前的长度、指向末尾元素的指针。
• 【列表】数组和链表都属于线性列表(Linear List简称为列表List)，并且是最为主要的表现形式。
• 【栈Stack】栈是一种插入(入栈)和删除(出栈)操作都只能在端部进行的列表，这一端叫做栈顶Top，栈对于实现递归算法必不可少，很重要的深度优先搜索DFS也是利用栈实现。
• 【队列Queue】队列的删除(出队)操作在一端进行，这一端称为队列头Front；而插入(入队)操作在另一端进行，这一端称为队列尾Rear，重要的广度优先搜索BFS是利用队列实现的。
• 栈与队列都是特殊类型的列表。
• 【优先队列Priority Queue】是一些来自于全序域中数据项的集合，最常见的全序域是整数或实数，优先队列一种精巧的实现结构叫做堆Heap，当然也可以直接基于数组来实现。
• 【邻接矩阵】无向图的邻接矩阵是一个$n\times n$的布尔矩阵A，若存在边$(i,j)$，那么$A[i,j]=1$，并且对于无向图而言，A是一个对称矩阵。若边上有权重$W$，那么$A[i,j]=W$，不存在边的地方以$\infty$表示。
• 【邻接链表】每一个顶点用一个链表表示，该链表包含和该顶点相连的所有顶点。
  
  
• 采用邻接矩阵存储的图，对其使用DFS和BFS的时间效率都是$O(|V{|}^2)$；相比之下，采用邻接链表形式的，其时间效率为$O(|V|+|E|)$.
• 对于图而言，连通性Connectivity和无环性Acylicity是重要的，二者都基于路径Path的概念：u到v的路径是图G中始于u终于v的邻接顶点序列，如果其中没有顶点是重复的，该路径是一条简单路径。
• 如果一个图不具有连通性，那么它会有至少两个连通分量，如下：
  
• 自由树Free Tree就是连通无回路图，其边数总比顶点数少一，$|E|=|V|+1$.
• 高度为h，有n个顶点的二叉树，满足$lo{g}_2^n\le h\le n-1$，其中$lo{g}_2^n$需要向下取整。