【算法】Notes for Chapter 4

减治法Decrease-and-Conquer的三种主要变化形式：①减去一个常量；②减去一个常量因子；③减去的规模是可变的。
减常量Decrease-by-a-Constant变化形式中，算法的每次迭代总是从实例中减去一个相同的常量，一般来说该常量是1.
减常因子Decrease-by-a-Constant-Factor变化形式意味着在每一次的算法迭代中，总是从实例的规模中，减去一个常数倍的部分，在大多数应用中，该常数是 $1 / 2$ ，例如二分查找法。
减可变规模Variable-Size-Decrease变化形式中，算法每次迭代时实例规模减小的模式都是不同的，计算最大公约数时的欧几里得算法就是一个很好的例子， $g c d (m, n) = g c d (n,$ m $m o d$ $n)$ ，虽然等号右边的参数总是会小于左边的参数，但规模减小的方式是可变的。
【插入排序】
插入排序对于基本有序的数组有非常优异的性能，D.L.Shell在此基础上扩展出了【希尔排序ShellSort】
拓扑排序应用的图必须是一个有向无环图(Directed Acyclic Graph)，简称为DAG图，主要使用的算法有两种，都是构造性的算法，它们既可以验证给定的图G是否为一个DAG图，又可以在答案肯定时输出一个拓扑排序的序列(暗示拓扑排序不唯一)。
【拓扑排序算法一】对给定的图G执行一次DFS遍历，记录下顶点变为"死点"，也就是其所有的邻接顶点都被访问过时的序列 $L$ ，将 $L$ 逆序输出，即为一个拓扑排序的解。
【拓扑排序算法二】基于减一治技术，在图G(以及后续更新过的图G)中求出源Source。源的定义是入度为0的顶点，也就是没有边终止于它，然后将源和所有从源起始的边全部删除，重复该步骤(多个源可以任意选择)直至图中没有源。如果图G中无顶点剩余，那么顶点的删除次序就是拓扑排序的一个解；否则说明图G不是一个DAG图，当中存在环。
【拓扑排序的应用】
【排列生成一】对于n个数，要得到它们的不同排列，并且希望满足最小变化要求，即交换前一排列(如果存在的话)中的两个元素就能够得到下一个排列，使用Johnson-Trotter算法。
【排列生成二】依旧要得到n个数的排列，但希望满足字典序，即将数字理解成字母之后，在字典中那样的顺序。

想法是对于排列 $a_1a_2...a_{n-1}a_n$ ，如果 $a_{n-1}<a_n$ ，那么交换二者位置即可；反之需要找到该序列的最长递减子序列 $a_{i+1}>a_{i+2}>...>a_{n-1}>a_n$ ，注意此时 $a_i<a_{i+1}$ ，然后将 $a_i$ 与递减子序列中大于它的最小元素互换，最后将新的递减子序列逆序，得到一个升序序列。举例362541按照字典序，其后继排列为364125，这一算法的历史可以追溯到14世纪的印度。
【生成子集】n个元素的集合 $A={a_1,a_2,..,a_n}$ 的所有 $2^n$ 个子集和长度为n的所有 $2^n$ 个位串之间是一一对应的，如果 $a_i$ 属于该子集，那么就令 $b_i=1$ ；否则 $b_i=0$ ，现在希望得到一个满足最小变化要求的位串生成算法。二进制反射格雷码就能够满足这样的需求，Frank Gray作为 $A T$ & $T$ 实验室的研究员，为了降低传送数字信号时的误差影响，于20世纪40年代重建了格雷码。
【折半查找】

折半查找的平均键值比较次数为 $log_2^n$ .
【俄式乘法】两个正整数相乘的非主流算法，利用如下的等式：
【选择问题Selection Problem】对于拥有n个元素的列表，求取其中第k小的元素，该元素被称为第k个顺序统计量。当k=n/2时，该元素被称为中值。想要求取中值，对于整个数组进行排序后获取是不必要的，我们采用划分Partioning的思路，将列表根据某个枢轴量pivot进行重新整理，使得左边的元素都是小于等于pivot的，紧接着是pivot本身，再接着是大于等于pivot的元素。
【Lomuto划分】

快速选择算法在最坏情况下的时间效率是平方级的，但其平均情况下的时间效率是线性的，并且计算机科学家发现了一种更加复杂的算法，它在最坏情况下的时间效率也是线性的。
【插值查找】这一算法在查找过程中，考虑了查找键的值。如果在某一次迭代中处理的是数组两个端点值 $A [l]$ 和 $A [r]$ 之间的一部分，插值查找假设数组的值是线性递增的，也就是由 $(l, A [l]) 、 (r, A [r])$ 两个点确定的这条直线，那么将要被访问以进行比较的下一个元素是这样确定的：

该点在直线上，并且其纵坐标等于查找键的值，由此来确定其在数组中的下标：
【拈游戏Nim Game】

【算法】Notes for Chapter 4

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