【经典阅读】《算法导论》Chapter4 Divide-and-Conquer

1. 知识梳理

• 最大子数组问题：
  问题定义：找到并返回元素和最大的子数组的起止点以及最大值
  方法：
  ①暴力法，见4.1-2($\Theta (n^2)$)；
  ②分治法($o(n^2)$)

  //找寻跨左右子数组边界的最大子数组算法
  FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high)
  	left-sum = -INF
  	sum = 0
  	for i=mid downto low
  		sum = sum + A[i]
  		if sum > left-sum
  			left-sum = sum
  			max-left = i
  			
  	right-sum = -INF
  	sum = 0 //reset
  	for j=mid+1 to high
  		sum = sum + A[j]
  		if sum > right-sum
  			right-sum = sum
  			max-right = j
  	return (max-left, max-right, left-sum + right-sum)
  
  //分而治之
  FIND-MAX-SUBARRAY(A, low, high)
  	if high == low
  		return (low, high, A[low]) // base case: only one element
  	mid = floor((low + high) / 2)
  	(left-low, left-high, left-sum) = 
  		FIND-MAX-SUBARRAY(A, low, mid)
  	(right-low, right-high, right-sum) = 
  		FIND-MAX-SUBARRAY(A, mid+1, high)
  	(cross-low, cross-high, cross-sum) = 
  		FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high)
  	if left-sum >= right-sum and left-sum >= cross-sum
  		return (left-low, left-high, left-sum)
  	else if right-sum >= left-sum and right-sum >= cross-sum
  		return (right-low, right-high, right-sum)
  	else
  		return (cross-low, cross-high, cross-sum)
  

• 矩阵乘法的Strassen算法
  见习题4.2-2
• 递归式求解的三个方法

1. 代入法：①猜渐近界(可借助递归树)；②数学归纳法证明
2. 递归树法：①层层展开，求树高和每层节点数目；②分别求叶节点代价和其余各层的代价，之后加起来即可。
3. 主方法
   令$a\ge 1,b>1$是常数，$f(n)$是一个函数，$T(n)$是定义在非负整数上的递归式：$T(n)=aT(n/b)+f(n)$，其中$n/b$解释为$\lfloor n/b\rfloor$或$\lceil n/b\rceil$，那么$T(n)$有如下渐近界：
   1. 若对于某个常数$\epsilon >0$有$f(n)=O(n^{lo{g}_{b}a-\epsilon })$，则$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
   2. 若$f(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$，则$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lgn)$。
   3. 若对于某个常数$\epsilon >0$有$f(n)=\Omega (n^{lo{g}_{b}a+\epsilon })$，且对于某个常数$c<1$和所有足够大的$n$有$af(n/b)\le cf(n)$，则$T(n)=\Theta (f(n))$。
      注：不是所有递归式都能用主定理解决，所有的大于小于都要是在多项式意义上的大于小于才可以用主定理。例如，$T(n)=2T(n/2)+nlgn$就不能用主定理。
4. *主方法证明

2. 课堂笔记

递归式求解方法的部分见《算法导论》Chapter3 Growth of Functions的课堂笔记。

3. 重点习题

练习题

4.1-2

BRUTE-FORCE(A)
	n = A.length
	max-sum = -INF
	max-left = -1
	max-right = -1
	for i=1 to n
		sum = 0
		for j=i to n
			sum = sum + A[j]
			if sum > max-sum
				max-sum = sum
				max-left = i
				max-right = j
    return (max-left, max-right, max-sum)

4.2-2

STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(A, B)
	n = A.rows
	let C be a new nxn matrix
	if n == 1
		c11 = a11*b11
	else partition A, B, and C
		let each of S1, S2,..., S10 be a new n/2 x n/2 matrix
		//规律：A, B 各有行相加(2)、主对角线相加(1)、列相减(2)；
		//注：B的第1列是下减上
		S1 = B12 - B22;  S2 = A11 + A12;  S3 = A21 + A22;
		S4 = B21 - B11;  S5 = A11 + A22;  S6 = B11 + B22;
		S7 = A12 - A22;  S8 = B21 + B22;  S9 =  A11 - A21; 
		S10 = B11 + B12 
		let each of P1, P2, ..., P7 be a new n/2 x n/2 matrix
		P1 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(A11, S1)
		P2 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(S2, B22)
		P3 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(S3, B11)
		P4 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(A22, S4)
		P5 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(S5, S6)
		P6 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(S7, S8)
		P7 = STRASSEN-MATRIX-MULTIPLY(S9, S10)
		C11 = P5 + P4 - P2 + P6
		C12 = P1 + P2
		C21 = P3 + P4
		C22 = P5 + P1 - P3 - P7
	return C

4.2-7

COMPLEX-MULTIPLY(a, b, c, d)
	A = (a+b)*(c+d)
	B = a*c
	C = b*d
	return B-C + (A-B-C)i

待回顾的练习题
4.1-3、4.1-5
4.2-3、4.2-4、4.2-6
4.3-2 ~ 4.3-7、4.3-9
4.4-3
4.5-4、*4.5-5

点此链接查看习题与答案

4. 遗留的部分

1. *4.6节 证明主定理
2. 本章注记
3. 习题4.4-4 ~ 4.4-9 以及 章末思考题(4-1 $\to$ 4-6)