【洛谷 P2258】子矩阵【DFS+DP】

题目描述

洛谷原题
给出如下定义：

子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第$2、4$行和第$2、4、5$列交叉位置的元素得到一个$2\times 3$的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个$2\times 3$的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个$n$行$m$列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个$r$行$c$列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入格式

第一行包含用空格隔开的四个整数$n,m,r,c$，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含$m$个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入 #1

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出 #1

6

输入 #2

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出 #2

16

分析：

边搜索边$dp$ 枚举选那些行 然后算出每列之间的分数$w$ 两列之间的分数$v$
就可以开始$dp$了 $f[i][j]$表示已经选了$i$列 最后一列是$j$的最小分数
状压$DP$ 过不了 得用这种$dfs+DP$的做法
状态转移方程：$$f[i][j]=min(f[i-1][k[+w[j]+v[j][k])$$
之前纪中的模拟赛 写过这道题 可移步模拟赛题解T5康康呗……

CODE：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define min(a,b)(a<b?a:b)  //手动写函数好像更快？
int n,m,l,r;
int a[20][20],f[20][20];
//f[i][j]表示已经选了i列，最后一列是j的最小分数
int w[20],v[20][20],pre[20];
//每列之间的分数w，两列之间的分数v
int ans=1<<30;
void dp()
{
    
    
    memset(f,127,sizeof(f));
    memset(w,0,sizeof(w));
    memset(v,0,sizeof(v)); 
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
    
    
        for(j=1;j<l;j++)
        {
    
    
            w[i]=w[i]+abs(a[pre[j]][i]-a[pre[j+1]][i]);
        }
        //cout<<w[i]<<"w"<<endl;
    }
    for(i=1;i<=m;i++) 
    {
    
    
        for(j=i+1;j<=m;j++) 
        {
    
    
            for(k=1;k<=l;k++)
            {
    
    
                v[i][j]=v[i][j]+abs(a[pre[k]][i]-a[pre[k]][j]);
            }
            //cout<<v[i][j]<<"v";
        }
    }
    f[0][0]=0;
    for(i=1;i<=r;i++) //选了第i列
    {
    
    
        for(j=i;j<=m;j++) //最后一列为j
        {
    
    
            for(k=0;k<j;k++) //枚举上一次选的列数
            {
    
    
                f[i][j]=min(f[i-1][k]+w[j]+v[k][j],f[i][j]);  //动态能量转移方程
            } 
        } 
    } 
    for(i=r;i<=m;i++)
    {
    
    
        ans=min(ans,f[r][i]);
    }
}
void dfs(int x,int y)
{
    
    
    if(y>l)
    {
    
    
        dp();
        return;
    }
    if (x>n) return;
    dfs(x+1,y); //这一列不选 ,下一个 
    pre[y]=x; //记录x的值在pre[y]中体现 
    dfs(x+1,y+1); //选他 
}
int main()
{
    
    
    int i,j;
    cin>>n>>m>>l>>r;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
    
    
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    dfs(1,1);
    cout<<ans;    
}